标签：3Z 07 元素 2Z 生成 循环群 子群 抽象代数

元素的阶

定义

设G是一个群，a是G中的一个元素，则子群\(<a>\)的阶称为元素a的阶，记为\(|a|\)或\(ord(a)\)
设G是一个群，a是G中的一个元素，e为单位元，使

\[[ a^k = e ] \]

成立的最小正整数\(k\)称为元素\(a\)的阶. 若\(a\)的阶为\(n\)，记为 \(|a|=ord(a)=n\). 若不存在整数\(k\)满足上述条件，则称\(a\)的阶为无穷大，记为 \(|a|=\infty\).
无限循环群\((ord(a)=\infty)\)可表示为：
\([ <a>=\{\ldots,a^{-2},a^{-1},a^0,a^1,a^2,\ldots\},其中a^0=e.]\)
有限\(m\)阶循环群\((ord(a)=m)\)可表示为：
\([ <a>=\{a^0,a^1,a^2,\ldots,a^{m-1}\},其中a^0=e,a^m=e.]\)

元素阶及其性质

设 G 是一个群, \(a \in G\).
I. 如果\(a\)是无限阶的元素, 则:
1. \(a^k = e\) 当且仅当\(k=0\);
2. 元素\(a^k\) (\(k \in \mathbb{Z}\)) 两两不同.
II. 如果\(a\)具有有限阶\(m > 0\), 则:
1. m 是使得\(a^m = e\) 的最小整数;
2. \(a^k = e\) 当且仅当\(m|k\);
3. \(a^r = a^k\) 当且仅当\(r \equiv k \pmod{m}\);
4. 元素\(a^k\) (\(k \in Z/mZ\)) 两两不同;
5. \(\langle a \rangle = \{a, a^2, a^3, ..., a^{m-1}, a^m = e\}\);
6. 对任意整数\(d\), \(1 \leq d \leq m\), 有\(\operatorname{ord}(a^d) = \frac{m}{(m,d)}\).

生成群

生成子群

设G是一个群，\(\{H_i\}_{i \in I}\) 是 G 的一族子群，则 \(\bigcap_{i \in I} H_i\) 是 G 的一个子群.
例：\(2Z\)是 \(Z\) 的子群，\(3Z\) 是 \(Z\) 的子群，\(2Z∩3Z=2Z\) 是 \(Z\) 的子群.
设 \(G\) 是一个群，\(X\) 是$ G$ 的子集，\(\{H_i\}_{i \in I}\) 是 \(G\) 的包含 \(X\) 的所有子群，则 \(\bigcap_{i \in I} H_i\) 是 \(G\) 的由 \(X\) 生成的子群，记为 \(<X>\).
注：\(<X>\)是包含\(X\)的最小子群.
例：\(X=2Z,G=(Z,+)\)中包含X的所有子群为\(2Z,3Z\),\(2Z.2Z∩3Z∩2Z=2Z=<X>\).
设\(G\)是一个群,\(X=\{a_1,...,a_t\}\)是G的非空子集，则

（1）当\(G\)为乘法群时，由\(X\)生成的子群为

\[<X>=\{a_1^{n_1}a_2^{n_2}...a_t^{n_t}|n_i∈Z,1≤i≤t\}. \]

特别地，对任意的\(a∈G\)，有

\[<a>=\{a^n|n∈Z\}. \]

（2）当\(G\)为加法群时，由\(X\)生成的子群为

\[<X>=\{n_1a_1+...+n_ta_t|n_i∈Z,1≤i≤t\}. \]

特别地，对任意的\(a∈G\)，有

\[<a>=\{na|n∈Z\}. \]

\(X\)的元素称为子群\(<X>\)的生成元,\(X\)称为生成元集。
如果\(X=\{a_1,...,a_t\}\)，则记<\(X\)>=\(<a_1,...,a_t>\).
如果\(G=<a_1,...,a_t>\)，则称\(G\)为有限生成的.

循环群

\(H = \{a^k|k\in Z\}\) 称为\(a\)生成的循环子群,即\(<a>\)
如果\(G=<a>\)，则称\(G\)为\(a\)生成的循环群.

循环群的性质

设 \(G\) 是循环群, \(G=<a>\)

1. 如果\(G\)是无限的, 则G的生成元为\(a\)和\(a^{-1}\).
2. 如果\(G\)是有限阶\(m\), 则\(a^k\)是G的生成元当且仅当\((k,m)=1\).
3. 整数加群\((Z,+)\)的每个子群\(H\)都是循环群。并且有\(H=<0>\)或\(H=<m>=mZ\)，其中\(m\)是\(H\)中的最小正整数。如果\(H≠<0>\)，则\(H\)是无限的。
   例：加群\(Z\)的子群\(H=<3>=3Z\)是无限循环群。\(H=<0>={({0}},+))\)是有限循环群。
   加群Z的子群 $ H==mZ={…,-3m,-2m,-m,0,m,2m,3m,…}$ 是无限循环群。
4. 循环群的子群是循环群。
5. 定理:
   （1）每个无限循环群与整数加群\(Z\)同构；
   （2）每个\(m\)阶循环群与模m剩余类加群\(Z_{m}=Z/mZ\)同构.
   从同构的观点看，循环群只有两种，整数加群和模m剩余类加群.

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From： https://www.cnblogs.com/luminescence/p/18591435