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一、利用等价代换和初等变形
1.1 等价代换
1.1.1 三角代换
x
∼
s
i
n
x
∼
t
a
n
x
∼
a
r
s
i
n
x
∼
a
r
c
t
a
n
x
x \sim sinx \sim tanx \sim arsinx \sim arctanx
x∼sinx∼tanx∼arsinx∼arctanx
1
−
c
o
s
x
∼
1
2
x
2
1-cosx \sim \frac{1}{2}x^2
1−cosx∼21x2
1.1.2 指数代换
x ∼ l n ( 1 + x ) ∼ e x − 1 ∼ a x − 1 l n a ∼ ( 1 + x ) b − 1 b x \sim ln(1+x) \sim e^x-1 \sim \frac{a^x-1}{lna} \sim \frac{(1+x)^b-1}{b} x∼ln(1+x)∼ex−1∼lnaax−1∼b(1+x)b−1
1.2 初等变形
初等变形时对某一个代数式同时乘以和除以、加上和减去相同的式子，以达到化简作用。
二、利用已知极限
2.1 Approach
2.1.1 lim n → 0 ( 1 + x ) 1 x = e \lim_{n \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e limn→0(1+x)x1=e
上述等式可以看作 ( 1 + 0 ) ∞ = e (1+0)^{\infty}=e (1+0)∞=e，这里的0是无穷小的意思。
2.1.2 lim n → ∞ ( 1 + 1 2 + ⋯ + 1 n − l n ( n ) ) = C \lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}-ln(n))=C limn→∞(1+21+⋯+n1−ln(n))=C
这里的 C C C是一个定值，称为欧拉常数。
2.2 适当的变形
观察所求极限的形式，与已知极限靠拢。通过一系列变形得到答案。
例2.2.1：求 lim n → ∞ ( a n + b n 2 ) n \lim_{n \rightarrow \infty}(\frac{\sqrt[n]a+\sqrt[n]b}{2})^n limn→∞(2na +nb )n
提示：直接变形成2.1.1形式就可以求解。
例2.2.2：已知 a 1 , a 2 , . . . , a n > 0 ( n ≥ 0 ) a_1,a_2,...,a_n>0(n \geq 0) a1,a2,...,an>0(n≥0)，且 f ( x ) = ( a 1 x + a 2 x + . . . + a n x n ) 1 x f(x)=(\frac{a_1^x+a_2^x+...+a_n^x}{n})^{\frac{1}{x}} f(x)=(na1x+a2x+...+anx)x1，求 lim x → 0 f ( x ) \lim_{x\rightarrow 0}f(x) limx→0f(x)
提示：仿照上题即可，用2.1.1形式求指数型极限最为方便。注意如果底数是加法求和形式，像 a 1 x + a 2 x + . . . + a n x a_1^x+a_2^x+...+a_n^x a1x+a2x+...+anx或者 a n + b n \sqrt[n]a+\sqrt[n]b na +nb ，就无法使用 f ( x ) = e l n ( f ( x ) ) f(x)=e^{ln(f(x))} f(x)=eln(f(x))变形了，因为 e l n e^{ln} eln恒等变形是为了将乘法化简成对数加法，而不能将加法化简。ps. l n ( a + b ) ≠ l n a + l n b ln(a+b)\neq lna+lnb ln(a+b)=lna+lnb
但是下面这道题可以用 e l n e^{ln} eln恒等变形。
例2.2.3：若数列 { x n } \{ x_n \} {xn}收敛，且 x n > 0 ( n = 1 , 2 , . . . , n ) x_n>0(n=1,2,...,n) xn>0(n=1,2,...,n)，则 lim x → ∞ x 1 x 2 … x n n = lim x → ∞ x n \lim_{x\rightarrow \infty}\sqrt[n]{x_1x_2\dots x_n}=\lim_{x\rightarrow \infty}x_n limx→∞nx1x2…xn =limx→∞xn
提示：先用 e l n e^{ln} eln恒等变形，将乘法化为指数加法，然后再用stolz定理将加法求和化为单一项。
下面这道题是利用了上题的结论
例2.2.4：若 x n > 0 ( n = 1 , 2 , . . . ) x_n>0(n=1,2,...) xn>0(n=1,2,...)且 lim n → ∞ x x + 1 x n \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{x_{x+1}}{x_n} limn→∞xnxx+1存在，则 lim n → ∞ x n n = lim n → ∞ x x + 1 x n \lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{x_n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{x_{x+1}}{x_n} limn→∞nxn =limn→∞xnxx+1
例2.2.5：求 lim n → ∞ ( 1 n + 1 + 1 n + 2 + ⋯ + 1 n + n ) \lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{n+n}) limn→∞(n+11+n+21+⋯+n+n1)
提示：这道题利用了2.1.2的形式
三、变量替换求极限
3.1 方法
利用 lim n → ∞ x n = a \lim_{n\rightarrow \infty}x_n=a limn→∞xn=a得到 x n = a + α n x_n=a+\alpha_n xn=a+αn，其中 α n \alpha_n αn是关于 1 1 1的无穷小量
3.2 例题
标签：infty,frac,ln,lim,极限,limn,方法,rightarrow From： https://blog.csdn.net/forgive_me_/article/details/144251544若 lim n → ∞ x n = a \lim_{n\rightarrow \infty}x_n=a limn→∞xn=a， lim n → ∞ y n = b \lim_{n\rightarrow \infty}y_n=b limn→∞yn=b，试证
lim n → ∞ x 1 y n + x 2 y n − 1 + ⋯ + x n y 1 n = a b \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{x_1y_n+x_2y_{n-1}+\dots+x_ny_1}{n}=ab limn→∞nx1yn+x2yn−1+⋯+xny1=ab