前言
上回说到“理想 ADC”中只存在量化噪声，并且介绍了 SNR = 6.02N + 1.76dB 的计算公式。那么，是否意味着“底噪”（Noise Floor）就是这个 SNR 的负数呢？
先来看一张图，原始出自于 ADI 的文章（见参考资料[1]），我做了些标注：
图1 ADC SNR 与 Noise floor
图中假设了一个 12-bit 的ADC，理想情况下 SNR 就是 6.02*12 + 1.76 = 74dB。
但是在 -74dB 往下，还有两根横线，一根是黄线，上面写 FFT Noise Floor（39dB，per bin），另一根是蓝色，上面写了 Noise Floor（80dB，per Hz）。
这是怎么回事？难道底噪还能比理想 SNR 更低吗？
今天我们就介绍一下这个现象。
信号的带宽
让我们重新看一下频谱图，在许多应用中，实际感兴趣的信号所占的带宽 Bandwidth 很小，也许远小于奈奎斯特采样频率，比如下面这个图，出自另一篇 ADI 的文章（见参考资料[2]）：
图2 ADC 过采样的例子
图中可以看到一根顶天立地的垂线，被红框圈出，这是信号。其它都是噪声。
文中告诉我们：在这个例子中，假设了 ADC 的采样时钟频率 Fs 为 75MHz，对应奈奎斯特频率 Fs/2 为 37.5MHz，也就是频谱图横坐标的范围。红框圈出来的信号，频率位于 2MHz 左右，并且认为信号的带宽是在 DC（0Hz）至 4MHz 之间。
好了，现在如果有一个滤波器，能够滤除 4MHz 以上的所有噪声，那么 SNR 会有什么变化？
可以想一想，先做个判断。
从频域角度看 SNR
之前 SNR 的计算过程，是先从时域上求出信号与噪声的 RMS（有效值），然后两者相除得到 SNR。
频域与时域是信号的不同表达，理应有一样的结果。现在，图2 中的噪声被滤波，意味着它的能量成分减少， RMS 也要变小，那必然会提升 SNR。
这背后有数学上的推导计算，我们不多做阐述，但可以想象的一种做法是先将频域转 RMS，再作 RMS 的相除。频域转 RMS 的图示如下，其中用到了积分：
图3 噪声频谱转 RMS
当然，实际 ADC 的频谱图会用到 DFT/FFT，这时横坐标就是一个个离散的“bin”而非连续变化，但转 RMS 的原理类似。
关键在于从频域角度看 SNR，是将噪声的所有频谱成分累加，得到噪声总能量，而不是只拿 2MHz 的信号与 2MHz 的噪声相比。
神奇的过采样
说回图2 ，滤波降低了噪声成分，从而提高了 SNR。但之所以能这么干，这是因为噪声带宽比信号带宽更大才行，也就是 ADC 的采样频率要大于信号的奈奎斯特采样定理所需频率，即 Fs/2 > BW，这不就是过采样（Oversampling）嘛。
ADI 经典教程《MT-001》（见参考资料[3]）中阐述了过采样如何影响 SNR ，并改动了 SNR 的数学公式，将过采样的因素加入其中：
图4 过采样产生的 Process Gain及调整后的 SNR
改动后的 SNR 公式中，因“过采样”（Fs/2 > BW）提升 SNR 的部分，称为“Process Gain”。
我们用这个公式验证一下图2 的例子：图2 中信号的带宽是 4MHz，相比 Fs = 8MHz 刚好满足奈奎斯特采样定理的情况，现在 Fs = 75MHz ，所以 Process Gain = 10log(75 / 2 / 4) = 9.7dB。提升了 9dB 以上的SNR。（注： ADI 原文中说带宽大了8倍，10log(8) 正好等于 9dB）
所以神不神奇？通过“过采样+滤波”实现了超额 SNR。
但请注意一点，图4 的纵坐标是噪声幅度，它也是 Fs 的系数。如果 Fs 大了，幅度就小了；如果 Fs 小了，幅度就大了。这个可以从前面频谱图转 RMS 的原理来解释。也可以从混叠来解释，如果 Fs 小，噪声在 Fs/2 里面的密度更高，反之密度更低：
图5 噪声采样混叠及密度
图中假设了白噪声，大于 Fs/2 的噪声被混叠至 Fs/2 内部。
噪声谱密度
随着高速 ADC 的普及，采样率不断增加到 GHz，过采样带来超额的 SNR 优势。那么，在比较 ADC 的时候，不仅要考虑本身的 SNR，还要考虑所支持的采样频率 Fs，这太麻烦了，是否有更好的指标快速比较 ADC 的性能？
这就引出了噪声谱密度 NSD（Noise Spectral Density）。
NSD 的“相对值”单位是 dBFS/Hz，表示在 1Hz 的带宽范围内，满量程信号与噪声的信噪比。其实在前面 图3、图4 的纵坐标上，我们已经接触到 NSD 了，只不过用的是绝对值。
NSD 的计算方式如下，图中加了红色下划线，其实就是 Process Gain 中 BW = 1Hz 的特例：
图6 ADC SNR 与 Noise floor的计算
图中 SNR = 74dB，1Hz BW Process Gain = 80dB，所以NSD Noise floor = - (74 + 80) = -154dB。
这就是为什么 NSD Noise floor 在理想 SNR 的下方。至于 FFT ，它的每个 bin 是比 1Hz 更大的 BW，因此位于理想 SNR 的下方，但又位于 NSD Noise floor 的上方。
ADI 文中举了一个例子，标称 SNR 同为 70dB 的 4 个 ADC，所支持的采样率从 100MSPS 到 2GSPS 不等，并且也提供了各个 ADC 的 NSD，如果它们都对 50MHz BW （Bandwidth） 进行采样，那么在 50MHz BW 上 SNR 是多少？
图7 ADC Noise spectral density（NSD）对比
由于 NSD 的存在，一方面 ADC 性能优劣能够很快看出，另一方面，50MHz BW 上 SNR 也很好算，各个 ADC 的 NSD + 10log(BW) ，再变换一下符号即可。
小结
今天我们介绍了过采样（+滤波）能带来超额的 SNR，称之为 Process Gain 。
NSD （Noise Spectral Density）是衡量 ADC 性能的一个指标，它结合了 SNR 与 采样率 两种因素。
那么，你觉得 ADC 的过采样是神操作，还是奇技淫巧呢？
参考资料
主要来自以下内容，都可以通过搜索关键词获取：
- https://www.analog.com/en/resources/technical-articles/noise-spectral-density.html
- https://www.analog.com/en/resources/technical-articles/use-noise-spectral-density-to-evaluate-adcs-in-software-defined-systems.html
- ADI MT-001 by Walt Kester: Taking the Mystery out of the Infamous Formula, "SNR = 6.02N + 1.76dB" and Why You Should Care
- TI Precision Labs 1312 - Op Amps Noise - 2
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