环
设 \(R\) 是赋予了加法和乘法运算的非空集合. 我们称 \(R\) 是环，如果 \((R,+)\) 是阿贝尔群，\((R,\cdot)\) 是幺半群，且 \(R\) 的乘法满足对加法的左右分配律.
若将 \((R,\cdot)\) 是幺半群的条件修改为 \((R,\cdot)\) 是半群，我们称 \(R\) 是伪环. 我们将在某些部分平行地构建出伪环相对于环的概念.
容易验证，若 \(R\) 是环，对于任意 \(a,b\in R\)
\[\begin{aligned}0a=a0&=0\\a(-b)=(-a)b&=-(ab)\\(-a)(-b)&=ab\end{aligned} \]子环
设 \(R\) 是环，\(S\subset R\)，若 \(S\) 在 \(R\) 的运算下是环，则称 \(S\) 是 \(R\) 的子环，记作 \(S<R.\)
上述定义等价于 \(1\in S\) 且对于任意 \(a,b\in S\)，有 \(a-b,ab\in S.\)
交换环
设 \(R\) 是环，若 \(R\) 中的乘法满足交换律，则称 \(R\) 是交换环.
零环
设 \(R\) 是环，若 \(R=\{0\}\)，则称 \(R\) 是零环. 我们指出，\(R\) 是零环当且仅当 \(0=1.\) 因为当 \(0=1\) 时，对于任意 \(r\in R\)，有 \(r=1r=0r=0.\)
除环
设 \(R\) 是环，我们称 \(R\) 中对乘法可逆的元素为单位，设全体单位的集合为 \(R^{\times}.\) 若 \(R\backslash\{0\}=R^{\times}\)，则称 \(R\) 为除环.
换言之，除环是所有非零元都对乘法可逆的环.
域
域是可交换的除环.
等价的定义是，设 \(F\) 是定义了加法和乘法运算的集合，若 \((F,+)\) 是阿贝尔群，\((F\backslash\{0\},\cdot)\) 是阿贝尔群，且乘法对加法满足左右分配律，则 \(F\) 是域.
理想
设 \(R\) 是环，\(I\subset R\)，\((I,+)<(R,+).\)
若对于任意 \(r\in R,a\in I\)，有 \(ra\in I\)，则称 \(I\) 是 \(R\) 的左理想.
若对于任意 \(r\in R,a\in I\)，有 \(ar\in I\)，则称 \(I\) 是 \(R\) 的右理想.
若 \(I\) 既是 \(R\) 的左理想，也是 \(R\) 的右理想，则称 \(I\) 是 \(R\) 的理想，记作 \(I\triangleleft R.\)
显然，\(\{0\}\) 和 \(R\) 是 \(R\) 的理想，我们称这两个理想是平凡的.
我们指出，设 \(R\) 是环，\(I\triangleleft R\)，若 \(1\in I\)，则 \(I=R.\)
可得推论，若 \(I\) 中含有 \(R\) 的单位，则 \(I=R.\)
若 \(R\) 是域，则每个非零元都是单位，假如 \(I\ne\{0\}\)，则 \(I\) 包含单位，则 \(I=R.\) 即域的所有理想都是平凡理想.
商环
设 \(R\) 是环，\(I\triangleleft R\)，称
\[a+I:=\{a+r\mid r\in I\} \]是 \(a\) 的陪集.
\(R\) 中所有元素的陪集构成对 \(R\) 的划分，因为陪集是 \(R\) 上等价关系 \(\sim:a-b\in I\) 诱导的等价类.
定义记号 \(a\equiv b\pmod{I}\)，它表示 \(a-b\in I\)，或等价地 \(a+I=b+I.\)
若 \(a\equiv b\pmod{I}\) 且 \(c\equiv d\pmod{I}\)，则 \(a+c\equiv b+d\pmod{I}\)，这是因为
\[(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)\in I. \]若 \(a\equiv b\pmod{ I}\) 且 \(c\equiv d\pmod{I}\)，则 \(ac\equiv bd\pmod{I}\)，这是因为
\[ac-bd=a(c-d)+(a-b)d\in I \]我们将所有陪集构成的集合记为 \(R/I\)，定义陪集加法和乘法
\[\begin{aligned}\overline{a}+\overline{b}&:=\overline{a+b}\\\overline{a}\overline{b}&:=\overline{ab}\end{aligned} \]有先前提到的结论，因此这是良定义.
注意到 \(\overline{0}\) 和 \(\overline{1}\) 分别是 \(R/I\) 的零元和单位元，进一步我们注意到 \(R/I\) 对它的加法和乘法构成环，我们称它为 \(R\) 模 \(I\) 的商环.
环同态
设 \(R,R'\) 是环，映射 \(\varphi\colon R\longrightarrow R'\) 是同态，如果
\[\begin{aligned}\varphi(1)&=1'\\\varphi(a+b)&=\varphi(a)+\varphi(b)\\\varphi(ab)&=\varphi(a)\varphi(b)\end{aligned} \]若同时满足 \(\varphi\) 是双射，则称 \(\varphi\) 是同构，此时记作 \(R\cong R'.\)
易验证同构关系符合自反性，对称性和传递性.
记 \(\ker\varphi=\{a\in R\mid \varphi(a)=0'\}\)，\({\rm im}\varphi=\varphi(R)\)，则 \(\ker\varphi\triangleleft R\) 以及 \({\rm im}<R'\) 平凡成立.
舞台已经搭好，大幕业已升起，环同构三定理可以登场了.
同构第一定理
设 \(R,R'\) 是环，若 \(\varphi\colon R\longrightarrow R'\) 是环同态，则 \(R/\ker\varphi\cong {\rm im}\varphi.\)
证明：考虑映射 \(\tilde{\varphi}\colon R/\ker\varphi\longrightarrow {\rm im}\varphi\)，它由 \(\tilde{\varphi}(\overline{a})=\varphi(a)\) 给出.
若 \(\overline{a}=\overline{b}\)，则 \(a-b\in \ker\varphi\)，所以 \(\varphi(a)-\varphi(b)=\varphi(a-b)=0'\)，即 \(\varphi(a)=\varphi(b)\)，这保证了 \(\tilde{\varphi}\) 是映射.
因为 \(\tilde\varphi(\overline{1})=\varphi(1)=1\)，且
\[\begin{aligned}\tilde\varphi(\overline{a}+\overline{b})=\tilde\varphi(\overline{a+b})&=\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b)=\tilde\varphi(\overline{a})+\tilde\varphi(\overline{b})\\\tilde\varphi(\overline{a}\overline{b})=\tilde\varphi(\overline{ab})&=\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)=\tilde\varphi(\overline{a})\tilde\varphi(\overline{b})\end{aligned} \]所以 \(\tilde\varphi\) 是同态.
若 \(\tilde{\varphi}(\overline{a})=\tilde{\varphi}(\overline{b})\)，则 \(\varphi(a)=\varphi(b)\)，则 \(\varphi(a-b)=\varphi(a)-\varphi(b)=0\)，即 \(a-b\in\ker\varphi\)，即 \(\overline{a}=\overline{b}\). 从而 \(\tilde{\varphi}\) 是单射.
任取 \(a'\in {\rm im}\varphi\)，则存在 \(a\in R\) 使得 \(a'=\varphi(a)=\tilde\varphi(\overline{a})\)，从而 \(\tilde\varphi\) 是满射，从而 \(\tilde\varphi\) 是双射，从而 \(\tilde\varphi\) 是同构，从而 \(R/\ker\varphi\cong{\rm im}\varphi.\)
同构第二定理
设 \(R\) 是环，\(S<R\)，\(I\triangleleft R\)，则 \(S\cap I\triangleleft S\)，\(S+I<R\)，\(I\triangleleft S+I\) 且
\[S/(S\cap I)\cong(S+I)/I \]证明：前三个关系我们仅选取 \(S+I<R\) 证明，其实，\(1\in S,0\in I\)，所以 \(1=0+1\in S+I.\) 任取 \(r,s\in S,a,b\in I\)，则 \((r+a)-(s+b)\in (r-s)+(a-b)\in S+I\) 且
\[(r+a)(s+b)=rs+(as+rb+ab)\in S+I \]所以 \(S+I<R.\)
考虑映射 \(\varphi\colon S\longrightarrow (S+I)/I\)，它由 \(\varphi(a)=a+I\) 给出.
由陪集加法和乘法的定义，我们有 \(\varphi\) 是同态.
任取 \(r\in S,a\in I\)，我们有 \((r+a)+I=r+I=\varphi(r)\)，即得 \(\varphi\) 是满射，即 \({\rm im}\varphi=(S+I)/I.\)
任取 \(a\in S\)，\(\varphi(a)=a+I=0+I\) 当且仅当 \(a\in I\)，即 \(\ker\varphi=S\cap I.\)
由第一同构定理，\(S/\ker\varphi\cong{\rm im}\varphi\)，即 \(S/(S\cap I)\cong(S+I)/I.\)
同构第三定理
设 \(R\) 是环，\(I,J\triangleleft R\)，\(I\subset J\)，则 \(I\triangleleft J\)，\(J/I\triangleleft R/I\) 且
\[(R/I)/(J/I)\cong R/J \]证明：
(1) 显然 \(I\triangleleft J\).
(2) 因为 \(J/I\subset R/I\) 且 \((J/I,+)\) 与 \((R/I,+)\) 是群，所以 \((J/I,+)<(R/I,+).\)
任取 \(a\in J\)，\(r\in R\)，则 \((r+I)(a+I)=ra+I\in J+I\)，当然 \((a+I)(r+I)\in J+I.\) 所以 \(J/I\triangleleft R/I.\)
(3) 考虑映射 \(\varphi\colon R/I\longrightarrow R/J\)，它由 \(\varphi(a+I)=a+J\) 给出.
它是良定义的，因为若 \(a+I=b+I\)，则 \(a-b\in I\subset J\)，则 \(a+J=b+J.\)
任取 \(a\in R\)，\(\varphi(a+I)=0+J\) 当且仅当 \(a+J=0+J\) 当且仅当 \(a\in J.\)
若 \(a\in J\)，则 \(a+I\in J/I\). 反之，若 \(a+I\in J/I\)，则存在 \(b\in J\) 使得 \(a+I\in b+I\)，则 \(a-b\in I\subset J\)，所以 \(a=(a-b)+b\in J.\)
即 \(\varphi(a+I)=0+J\) 当且仅当 \(a+I\in J/I\)，即 \(\ker\varphi=J/I\)，显然 \({\rm im}\varphi=R/J.\)
(4) 由第一同构定理 \((R/I)/\ker\varphi\cong {\rm im}\varphi\)，即 \((R/I)/(J/I)\cong R/J.\)
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