运动学基础理论串讲

公式 · 推论

前言：运动学中，所有的公式都有其对应的几何意义。解决问题时，我们不应死套公式，应当在图像中解决问题。在图像中看清问题的本质。

\(v_t=v_0+at\)。已知初速度和加速度求末速度。

\(x=v_0t+\dfrac{1}{2}at^2\)。算位移的基础公式。

\(v_t^2-v_0^2=2ax\)。研究末速度和初速度之间关系。（速方差公式。）题干条件不给时间，也不问时间，考虑速方差。换句话说，少 \(t\) 一定要用速方差。

\(x=\dfrac{v_0+v_t}{2}t\)。（平均速度乘时间，即中间时刻的瞬时速度乘时间。）

几何意义：

上述是基本公式。无条件成立。下面公式有限制条件，是在基本公式基础上推导的，但是非常常用，需要记住。

当满足等时间差时，\(\Delta x = aT^2\)。（\(T\) 为每一段的时间，\(\Delta x\) 表示相邻两端时间的位移差值。）证明，考虑几何意义。这个公式在 打点计时器实验 中常用。显然在打点计时器中，时间差是相等的。无论是取计时点还是计数点。

常用比例式（匀加速，初速度为 \(0\)，\(\Delta t\) 相等，即连续相等的时间位移之比）：

等分时间的比例式：

\(1:2:3:4\) 运动的总时长之比。（等价于每个时段末的瞬时速度比，原因显然。）

\(1:4:9:16\) 累计运动的位移之比。（前多少段）

\(1:3:5:7\) 每个时段的位移之比。基于上面比例式。（每……段）

几何意义：\(v-t\) 图像

下面我们等分面积。

当初速度为 \(0\)，连续等位移时，存在下面图像。

上述四个三角形的面积之比是 \(1:2:3:4\)。

同理，累计时间之比为 \(1:\sqrt{2}:\sqrt{3}:\sqrt{4}\)。注意到由于三角形都相似，底之比等于高之比，而每个三角形的高意义为 每个时段末的瞬时速度，故每个时段末的瞬时速度比也为 \(1:\sqrt{2}:\sqrt{3}:\sqrt{4}\)。

\((\sqrt{2}-1):(\sqrt{3}-\sqrt{2}):(\sqrt{4}-\sqrt{3})\dots\) 走完每一段位移 \(x\) 的分时间之比。即连续等位移的分时间之比。

\((\sqrt{2}-1),(\sqrt{3}-\sqrt{2}),(\sqrt{4}-\sqrt{3})\dots\) 该数列是单调递减的。

证明：考虑分子有理化。注意到 \(\sqrt{2}-1,\sqrt{3}-\sqrt{2}\dots\)，凑成平方差公式即可有理化。因此，我们先全转为倒数，然后执行分母有理化即可。

在匀变速直线运动中，一段时间的平均速度，等价于初速度和末速度和的一半，又等价于中间时刻的瞬时速度。

证明：考虑 \(v-t\) 图像上的 \(x\)。

梯形面积为 \(x\)，如果令 \(\dfrac{x}{t}\)，得到梯形的中位线。中位线在 \(v-t\) 图像上的意义为 \(\dfrac{t}{2}\) 时刻的瞬时速度。

至于“平均速度等于初速度和末速度和的一半”，即为梯形的面积公式。

上文提及，中时速度为 \(\dfrac{v_t+v_0}{2}\)，进一步的，我们可推导中位速度为 \(\sqrt{\dfrac{v_t^2+v_0^2}{2}}\)。推导过程运用了速方差。

考虑证明。首先我们要设加速度 \(a\)，加速度是匀变速直线运动的精髓所在。设中位速度为 \(v'\)。总位移为 \(2x\)。初速度为 \(v_0\)，末速度为 \(v_t\)。

目前已知位移，加速度，求中位速度，不求时间，也没有时间。考虑速方差。分别对两端位移进行速方差处理，如下。

即 \(v'^2-v_0^2=v_t^2-v'^2\)。

继而得 \(v'=\sqrt{\dfrac{v_t^2+v_0^2}{2}}\)。

上述中位速度推导过程体现了速方差的应用。同时，在匀变速直线运动中（\(a\ne 0\)），\(v_{t/2}<v_{x/2}\)，无条件成立。在匀速直线运动中，\(v_{t/2}=v_{x/2}\)。

证明：考虑对两部分平方处理。由于速度的正负仅表示方向，不表示大小，大小仅和绝对值有关。故平方后作差即可证明。

竖直上抛：本质是匀减速直线运动。我们已知初速度，物体竖直运动到最顶端速度为 \(0\)，可求出加速度，即当前位置的重力加速度 \(g\)。 分析竖直上抛时可整体分析（匀减速直线运动），也可拆分成匀减速直线运动和自由落体。能整体分析就整体分析。

例如，物体从 \(A\) 点开始初速度为 \(v_0\) 竖直上抛，下落到 \(B\) 点时，经过时间为 \(t\)，求 \(|AB|\)。这个问题直接代 \(x=v_0t+\dfrac{1}{2}gt^2\) 即可。因为竖直上抛本质是匀减速直线运动。

若已知 \(|AB|=x\)，竖直上抛初速度为 \(v_0\)，求 \(v_B\)。我们已知初速度，位移，隐含条件是重力加速度 \(g\)，求末速度。不求时间，直接代速方差即可。