已知 \(4x^4 + 9x^2y^2 + 2y^4 = 4\)，求 \(5x^2 + 3y^2\) 的最小值。
解
不知道怎么想到的。
把前面那个式子因式分解（设 \(x\) 为主元，十字相乘易得），得到 \((4x + y)(x + 2y)\)。
然后就发现两个因式加起来就是 \(5x^2 + 3y^2\)。基本不等式即可。
\(x + y = 2\)，求 \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{xy}\) 的最小值。
解
有个神奇方法是：
注意到如果分母和分子是齐次的，直接上下同除分母，就得到了更加好的式子。
但是如果本来式子不齐次。那我们能通过题目给的等式代换来升高或降低次数达到齐次的目的。
比如这个题。
后面先通分得 \(\dfrac{1 + y}{xy}\)，把分子写成 \((\dfrac{x + y}{2})^2 + y(\dfrac{x + y}{2})\)。
展开后再同除分母得 \(\dfrac{1 + \dfrac{x}{y} + 3\dfrac{y}{x}}{4}\)。
基本不等式求即可。