Tarjan再学习

标签：prime Tarjan 点双连通割边割点学习边双

蓝书的那一套理论比较生硬，且不是很深刻，故重学Tarjan。AlexWei《图论Ⅰ》

基本性质

边双连通

考虑割边两侧的两个点 $u,v$。由于删去割边 $u,v$ 不连通，所以这条割边在任何一条 $u$ 到 $v$ 的迹上，否则删去后 $u,v$ 仍连通。

两点之间的所有必经边，就是连接它们所有迹的交。

在研究必经边时，重复经过一条边是不优的，所以只需考虑两点之间的迹（路径边集不重复）。

不难发现，割边和必经边的概念是完全等价的。$u, v$ 双连通当且仅当 $u, v$ 之间不存在必经边。

断开一条割边会使连通块数 +1。断开所有割边，每个连通块中不含割边且不能再扩大，是原图的边双连通分量。

这说明边双连通分量由割边连接，边双缩点得到一颗树，每条边都是原图割边。

任意添加一条边 $(u, v)$，任意 $u, v$ 简单路径上的边不再是割边了，即该路径上的所有边双会被缩成一个大边双。

传递性：若 $u, v$ 双连通，$v, w$ 双连通，则 $u, w$ 双连通。

证明：$u, v$ 之间迹的交集为空（没有必经边），空集与空集取交还为空，因此 $u, w$ 之间没有必经边。

结论：边双的点集两两无交，每个点恰属于一个边双，根据传递性易证。

结论：对于边双内任意一条边 $(u,v)$，存在经过 $(u,v)$ 的回路；对于任意一点 $u$，存在经过 $u$ 的回路（除孤立点）。

证明：考虑边 $(u, v)$，将其删去后仍能得到一条 $u, v$ 的路径，将该路径与 $(u, v)$ 拼起来，即可得到穿过 $u, v$ 的回路。

点双连通

与边双不同，两个点双可能有交，例如 "8字形"，中间的交点在两个点双都出现了。

因此点双不具有传递性。但如果两个点双有交，交点一定唯一，否则两个点双可以合并。

结论：若两点双有交，那么交点一定是割点。如果删去交点后两点双仍然连通，则可以合并。

引理：若两点点双连通，那么包含这两点的点双唯一。不唯一则出现两个交点，矛盾。

现在已经知道点双交点是割点，那么割点一定是点双交点吗？删去割点，考虑割点的两个邻居 $u, v$。

根据定义，$u, v$ 不连通，则 $u, v$ 不属于一个点双。

结论：一个点是割点当且仅当属于超过一个点双（上面充分性和必要性都有证明）。

结论：由一条边直接相连的两点点双连通。

推论：一条边恰属于一个点双。$(u, v)$ 连接的 $u, v$ 属于一个点双，如果他们同时属于另一个点双则产生矛盾。

正如割边是连接边双的「桥梁」，割点也是连接点双的桥梁。

用一个点代表一个点双，并将这个代表点向与之相连的割点连边，得到块割树。

考虑删去点双中的一个点 $x$，剩下所有点连通。

如果度数大于 $1$，对于其不同的两个邻居 $u, v$，将新图中 $u, v$ 的路径与 $x$ 相连，得到经过 $x$ 的简单环。

若度数等于 $1$，则整个点双为"一边连两点"的平凡形态，即只可能在 $n = 2$ 的时候出现。

如果 $n \ge 3$ 且存在 $d(u) = 1$，设与其直接相连的唯一点为 $v$，删去 $v$ 后 $u$ 与整张图不连通，矛盾。

结论：对于 $n \ge 3$ 的点双中任意一点 $u$，存在经过 $u$ 的简单环。

Tarjan求割点

无向图DFS树

给定无向连通图 $G$，从 $r$ 开始 dfs。取出进入每个点时的边 $(fa_i,i)$ 称为树边，其它为非树边，得到以 $r$ 为根的树。

无向图 DFS 树的性质：

祖先后代性：任意非树边两端具有祖先后代关系。
子树独立性：节点的每个儿子的子树之间没有边（和上一条性质等价）。
时间戳区间性：子树时间戳为一段连续区间。
时间戳单调性：节点的时间戳小于其子树内的时间戳。

后两点比较显然，证一下前两点，对于 $u$ 所有的出边 $v$：

$v$ 还没遍历到，未来一定在 $u$ 的子树中（不一定是儿子）；$v$ 已经被遍历到，$u$ 对于 $v$ 来说是没被遍历，$u$ 在 $v$ 的子树中。

非根节点的割点判定

记 $x$ 的子树 $T(x)$ 为 $x$ 在 DFS 树上的子树，记 $T(x)^\prime = V\setminus T(x)$，即整张图除 $T(x)$ 以外的部分。

设 $x$ 不为根，则 $T^\prime(x) \ne \emptyset$，

删掉 $x$ 之后 $T(x)^\prime$ 通过树边相连仍然连通，若 $x$ 是割点则存在 $z \in T^\prime(x)$ 与 $y$ 不连通，显然 $y \in T(x)$。

由于 $y, z$ 不连通，$T^\prime(x)$ 连通，则 $y$ 与整个 $T^\prime(x)$ 不连通。反之如果存在 $y$ 与 $T^\prime(x)$ 不连通，$x$ 一定是割点。

条件等价于任意 $y \in T(x)$ 不经过 $x$ 能到达点均属于 $T(x)$。

如果 $y \in T(x)$ 不经过 $x$ 就与 $T^\prime(x)$ 连通，一定存在 $y$ 到 $v \in T^\prime(x) $ 的路径，使得 $v$ 是路径中第一个属于 $T^\prime(x)$ 的点。

设 $u$ 为路径中倒数第二个点，有 $u \in T(x)$。如果 $(u, v)$ 是树边，则 $u = x$，矛盾。

所以 $(u, v)$ 是非树边，$v$ 是 $u$ 的祖先，同理 $v$ 也是 $x$ 的祖先，一定有 $d_v < d_u$。

进一步的，由于 $x$ 的不同儿子之间没有非树边（子树独立性），设 $x$ 的儿子 $y^\prime$ 是 $y$ 的祖先，则 $u \in T(y^\prime)$。

因此，如果 $y$ 能够不经过 $x$ 和 $T^\prime(x)$ 连通，则存在 $u \in T(y^\prime)$ 满足 $u$ 有一条非树边与 $x$ 的祖先直接相连。

设 $f_x$ 表示 $x$ 通过非树边能（直接）到达的最小时间戳。

$x$ 不是割点的条件可以写成：对于任意儿子 $y^\prime$，都存在 $u \in T(y^\prime)$，使得 $f_u < d_x$。

如果存在 $f_u < d_x$，$u$ 直接与 $T^\prime(x)$ 相连，$y^\prime$ 的其他点先通过树边先 $u$ 相连，再间接与 $T^\prime(x)$ 连通；

否则删掉 $x$ 后任意 $y^\prime$ 子树内的点都不与 $T^\prime$ 连通，$x$ 是割点。

得到非根节点的割点判定法则：如果存在儿子 $y^\prime$，使得 $\min_{ u \in T(y^\prime)}f_u \ge d_x$，则 $x$ 是割点。

设 $g_x$ 表示 $x$ 子树内 $f_u$ 的最小值（low 数组的真正含义）：

\[\begin{aligned} f_x &= \min_{(x, y) \in E\land y\notin \text{son}(x)}d_y\\ \\ g_x &= \min\big(\min_{y \in \text{son}(x)}g_y,\ f_x \big) \end{aligned} \]

当且仅当存在 $x$ 的儿子 $y$ 满足 $g_{y} \ge d_x$，$x$ 是割点。

根据上述 DP 的定义，$g_x$ 显然是初始化成 $\inf$。当然初始化成 $d_x$ 也不会有错，代码上只是多一行少一行的区别。

（感觉听魏老师讲完，整个人都清澈了！）

根的割点判定法则

若 $x$ 在 DFS 树上有 $> 1$ 个儿子，根据子树独立性，$x$ 的儿子两两不连通，$x$ 是割点。

如果 $x$ 只有一个儿子 $y$，删掉 $x$ 后 $T(y)$ 仍然连通，$x$ 不是割点。

割边求法

Tarjan

探究 $e = (u, v)$ 是割边的充要条件。

树边使整张图连通，割断非树边不影响连通性，因此 $e$ 是割边的一个必要条件是 $e$ 是树边。

不妨设 $v$ 是 $u$ 的儿子，如果割点 $e$ 后图不连通，只能分成 $T(v)$ 和 $T^\prime(v)$ 两部分，因为其内部都通过树边连通。

这说明 $T(v)$ 的所有节点都必须经过 $e$ 才能到达 $T^\prime(v)$。

如果存在 $w \in T(v)$，$w$ 能过通过一条非树边到达 $u$ 或其祖先，则 $e$ 不是割边，即 $\min_{w \in T(v)} f_w = g_v \le d_u$。

割边判定法则：对于树边 $e = (u, v)$，$v$ 是 $u$ 的儿子，$e$ 是割边当且仅当 $g_v > d_u$。

树上差分

已经知道树边是割边的一个必要条件。

如果存在非树边 $(u, v)$，那么搜索树上 $u \to v$ 的简单路径上所有树边都不是割边了。

怎么刻画一条树边有没有被非树边覆盖？把边 $(i, fa_i)$ 的覆盖次数当做 $i$ 的点权，树上差分后求子树和。

边双连通分量缩点

由于每个点恰属于一个边双，把每个割边割断后剩下的每个连通块都是一个边双。

可以先 Tarjan 给所有割边打上标记，再 dfs 找连通分量，但太麻烦。

标签：prime,Tarjan,点双,连通,割边,割点,学习,边双
From： https://www.cnblogs.com/Luxinze/p/18427831

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