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《测度论与概率论基础》笔记 1.3.2

1.3 \(\sigma\)域的生成 定理 1.3.2

  本文是程士宏老师的《测度论与概率论基础》这本书的读书笔记。这本书算是国内为数不多的较为不错的测度论教材之一，但是很多地方讲述不详细，这里进行补充。

定理 1.3.2：如果 \(\mathscr{Q}\) 是半环，其生成的环表示为 \(r\left(\mathscr{Q}\right)\)，则 \(r\left(\mathscr{Q}\right)\) 为：

\[\begin{aligned} r\left(\mathscr{Q}\right) = \bigcup_{n=1}^\infty \left\{ \bigcup_{k=1}^n A_k : \left\{A_k \in \mathscr{Q}, k = 1,2,... \right\} \text{pairwise disjoint}\right\} \end{aligned}\tag{1} \]

其中 pairwise disjoint 是“两两不交”的意思。

  两重并，让人看起来就头疼。这个表达式可以进行一点简化。可列并可以理解为“存在”，可列交可以理解为“任意”。为什么可以这样理解呢？举个例子，设集合 \(A\) 表示为：

\[\begin{aligned} A = \bigcup_{n=1}^\infty A_n \end{aligned} \]

  若 $ \exists \text{ } n \geq 1 $，有元素 \(x \in A_n\)，则根据集合并的定义，则 \(x \in A\)。类似地，对于集合交，则为任意 "$ \forall $"

所以(1)式可以理解为，若有元素 \(x \in r\left(\mathscr{Q}\right)\)，则

\[\begin{aligned} \exists \text{ } n \geq 1, \text{ }x \in \left\{ \bigcup_{k=1}^n A_k | A_k \in \mathscr{Q}, \text{pairwise disjoint} \right\} \end{aligned}\tag{2} \]

  说白了就是，如果 \(\mathscr{Q}\) 是半环，则其生成的环 \(r\left(\mathscr{Q}\right)\) 是 \(\mathscr{Q}\) 的有限并集所组成的集合，可以表示为：

\[\begin{aligned} r\left(\mathscr{Q}\right) &= \left\{ \bigcup_{k=1}^1 A_k, \bigcup_{k=1}^2 A_k, \bigcup_{k=1}^3 A_k, ... | A_k \in \mathscr{Q}, \text{pairwise disjoint} \right\}\\ \end{aligned} \]

也就是：

\[\begin{aligned} r\left(\mathscr{Q}\right) &= \left\{ \bigcup_{k=1}^n A_k | n \in \mathbb{N}, A_k \in \mathscr{Q}, \text{pairwise disjoint} \right\} \end{aligned}\tag{3} \]

  这是不是看起来就简单多了，就是构建了一个新的集合 \(r\left(\mathscr{Q}\right)\)，这个集合里面的元素都是 \(\mathscr{Q}\) 里面的元素的有限并。同时，所有属于 \(\mathscr{Q}\) 的集合有限并，都属于 \(r\left(\mathscr{Q}\right)\)。

思路：

  证明 \(\mathscr{Q}\) 是生成环的话，一般也就是一个主线思路。就是紧贴生成环的定义，1、证明 \(r\left(\mathscr{Q}\right)\) 是环；2、证明 \(r\left(\mathscr{Q}\right)\) 包含 \(\mathscr{Q}\)；3、证明 \(r\left(\mathscr{Q}\right)\) 是最小环。

证明步骤：

  我们把回顾环和半环的定义，以及生成环的定义放在本文最后的附录，便于查阅。

Step 1：证明 \(r\left(\mathscr{Q}\right)\) 是环

根据环的定义来证明，分别证明对差和并封闭即可。

1.1、证明差闭性：证明对于任意的 \(A, B \in r\left(\mathscr{Q}\right)\)，集合的差集 \(A \setminus B \in r\left(\mathscr{Q}\right)\)。

  整理一下思路，如果我们能证明 \(A \setminus B\) 可以表示为 \(\mathscr{Q}\) 中的有限并集，那么就可以证明 \(A \setminus B \in r\left(\mathscr{Q}\right)\) 了。为什么呢？根据 \(r\left(\mathscr{Q}\right)\) 的表达式 (3)，\(r\left(\mathscr{Q}\right)\) 所有属于 \(\mathscr{Q}\) 的集合的有限并组成的集合。下面我们顺着这个思路走。

  我们现在的目标是证明 \(A \setminus B\) 可以表示为 \(\mathscr{Q}\) 中的有限并。根据 (3) 式，A和B分别可以写成：

\[\begin{aligned} A &= \bigcup_{i=1}^n A_i \\ B &= \bigcup_{j=1}^m B_j \end{aligned}\tag{4} \]

其中 \(n, m \in \mathbb{N}, A_i, B_j \in \mathscr{Q}, A_i, B_j \text{ pairwise disjoint}\)。于是：

\[\begin{aligned} A \setminus B &= \left\{ \bigcup_{i=1}^n A_i \right\} \setminus B \\ &= \bigcup_{i=1}^n \left\{A_i \setminus B \right\} \\ &= \bigcup_{i=1}^n \left\{A_i \setminus \bigcup_{j=1}^m B_j \right\} \\ \end{aligned}\tag{5} \]

由上式可见，要想证明 \(A \setminus B\) 可以表示为 \(\mathscr{Q}\) 中的有限并，只需证明 \(\left\{A_i \setminus \bigcup_{j=1}^m B_j \right\}\) 可以表示为 \(\mathscr{Q}\) 中的有限并即可。因为 有限并的有限并，依然是有限并 (有点套娃，不过还是比较好理解的)。

  利用半环的性质，由于 \(\mathscr{Q}\) 是半环，又因为 \(A_i, B_j \in \mathscr{Q}\)，集合的差 \(A_i \setminus B_j\) 可以表示为 \(\mathscr{Q}\) 中的两两不交有限并：

\[A_i \setminus B_j = \bigcup_{i=k}^{N_{ij}} C_k, \quad C_1, C_2, \dots, C_{N_{ij}} \in \mathscr{Q}, \text{ pairwise disjoint} \tag{6} \]

根据这个性质，下面我们将证明，\(A_i \setminus \bigcup_{j=1}^m B_j\) 也可以表示为 \(\mathscr{Q}\) 中两两不交集合的有限并：

\[A_i \setminus \bigcup_{j=1}^m B_j = \bigcup_{k=1}^{N_i} C_k, \quad C_1, C_2, \dots, C_{N_i} \in \mathscr{Q}, \text{ pairwise disjoint} \tag{7} \]

成立。如果(7)式成立，那么差闭性就证明完成。

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值得注意的是，我们需要验证一下套娃有限并之后，这些集合是否依然是两两不交 由于 \(A_i, B_j\) 两两不交。为了说明这一点，只需要证明 \(i\) 取不同值时，\(A_i \setminus \bigcup_{j=1}^m B_j\) 是否两两不交即可。

因为 \(A_i \setminus \bigcup_{j=1}^m B_j = A_i \cap \left\{ \bigcup_{j=1}^m B_j \right\}^c\)，于是：

\[\left\{ A_i \setminus \bigcup_{j=1}^m B_j \right\} \cap \left\{ A_k \setminus \bigcup_{j=1}^m B_j \right\} = A_i \cap A_k \cap \left\{ \bigcup_{j=1}^m B_j \right\}^c = \emptyset \]

其中 \(i \neq k\)。上式最后一个等号成立的原因是 \(A_i\) 两两不交。验证完毕。

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这里我们用数学归纳法证明(7)式：

• \(m = 1\) 时。\(A_i \setminus \bigcup_{j=1}^1 B_j = A_i \setminus B_j\)。根据 (6) 式，显然成立。
• 假设 \(m = t\) 时成立。即：

\[A_i \setminus \bigcup_{j=1}^t B_j = \bigcup_{i=1}^{N_{t}} C_i \]

• 于是，\(m = t+1\) 时

\[\begin{aligned} A_i \setminus \bigcup_{j=1}^{t+1} B_j &= A \cap \left\{ \bigcap_{j=1}^{t+1} B_j^c \right\} \\ &= A \cap \left\{ \bigcap_{j=1}^{t} B_j^c \right\} \cap B_{t+1}^c \\ &= \left\{ A_i \setminus \bigcup_{j=1}^t B_j \right\} \cap B_{t+1}^c \\ &= \left\{ \bigcup_{i=1}^{N_{t}} C_i \right\} \cap B_{t+1}^c \\ &= \bigcup_{i=1}^{N_{t}} \left\{ C_i \cap B_{t+1}^c \right\} \\ &= \bigcup_{i=1}^{N_{t}} \left\{ C_i \setminus B_{t+1} \right\} \\ \end{aligned} \]

注意到 \(C_i, B_{t+1} \in \mathscr{Q}\)，\(\mathscr{Q}\) 是半环，所以：

\[C_i \setminus B_{t+1} = \bigcup_{k=1}^{n_{i}} D_k, \quad D_1, D_2, \dots, D_{n_{i}} \in \mathscr{Q} \]

于是有：

\[\begin{aligned} A_i \setminus \bigcup_{j=1}^{t+1} B_j &= \bigcup_{i=1}^{N_{t}} \bigcup_{k=1}^{n_{i}} D_k, \quad D_k \in \mathscr{Q} \\ \end{aligned} \]

这里还是那个道理：有限并的有限并，依然是有限并。这就证明了当 \(m = t + 1\) 时，\(A_i \setminus \bigcup_{j=1}^m B_j\) 也可以表示为 \(\mathscr{Q}\) 中的有限并，即 (7) 式成立。这样我们就完成了归纳证明。

  至此，我们完成了差闭性的证明：对于任意的 \(A, B \in r\left(\mathscr{Q}\right)\)，集合的差集 \(A \setminus B \in \mathscr{Q}\)。

1.2、证明并闭性：证明对于任意的 \(A, B \in r\left(\mathscr{Q}\right)\)，集合的并集 \(A \cup B \in r\left(\mathscr{Q}\right)\)。

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我们先按照一种看起来合理的方式证明，根据(4)式：

\[\begin{aligned} A \cup B &= \bigcup_{i=1}^n A_i \cup \bigcup_{j=1}^m B_j \\ &= \bigcup_{k=1}^{m+n} C_i \\ \end{aligned} \]

其中 \(n, m \in \mathbb{N}, A_i, B_j \in \mathscr{Q}\)。而 \(r\left(\mathscr{Q}\right)\) 的定义中是要求

\[\begin{aligned} C_k = \begin{cases} A_k, & \text{if } 1 \leq k \leq n \\ B_{k-n}, & \text{if } n \leq k \leq m+n \end{cases} \end{aligned} \]

所以对于任意 \(A, B \in r\left(\mathscr{Q}\right)\)，\(A \cup B\) 满足 \(r\left(\mathscr{Q}\right)\) 的表达式，也属于 \(r\left(\mathscr{Q}\right)\)。

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  这种证明实际上是有漏洞的！ 为什么呢？回顾一下 \(r\left(\mathscr{Q}\right)\) 的定义，是 \(\mathscr{Q}\) 中 两两不交 的集合的并。这里只能说所有的 \(A_i\) 两两不交，也可以说所有的 \(B_j\) 两两不交，但序列 \(A_i\) 和 \(B_j\) 拼在一起，不一定两两不交。所以，我们还是得按照书中的方式来证明。

\[\begin{aligned} A \cup B &= B \cup \left(A \setminus B\right) \end{aligned} \]

由于 \(B \cap \left(A \setminus B\right) = \emptyset\)，且 \(B\) 和 \(\left(A \setminus B\right)\) 均可以表示成 \(\mathscr{Q}\) 中 两两不交 的集合的并，所以 \(A \cup B\) 也可以表示为 \(\mathscr{Q}\) 中 两两不交 的集合的并，符合 \(r\left(\mathscr{Q}\right)\) 的定义。因此：

\[\begin{aligned} A \cup B \in r\left(\mathscr{Q}\right) \end{aligned} \]

并闭性证明完毕。

1.3、总结。到此，我们证明了 \(r\left(\mathscr{Q}\right)\) 是一个环。

Step 2：证明 \(r\left(\mathscr{Q}\right) \supseteq \mathscr{Q}\)

   任何一个集合都可以看成本集合和空集的并。对于任意一个 \(A \in \mathscr{Q}\)，\(A\)可以表示为 \(A = A \cup \empty\)，根据半环的定义，\(\empty \in \mathscr{Q}\)。所以 \(A\) 满足 \(r\left(\mathscr{Q}\right)\) 的定义，于是 \(A \in r\left(\mathscr{Q}\right)\)。即

\[r\left(\mathscr{Q}\right) \supseteq \mathscr{Q} \]

Step 3：证明 \(r\left(\mathscr{Q}\right)\) 是包含 \(\mathscr{Q}\) 的最小环

对于任意一个包含 \(\mathscr{Q}\) 的环 \(\mathcal{R}\)，由于环对于有限并运算封闭，因此：

\[\bigcup_{i=1}^n A_i \in \mathcal{R}, \quad A_i \in \mathscr{Q} \]

由于 \(r\left(\mathscr{Q}\right)\) 的定义是 \(\mathscr{Q}\) 的有限并，所以：

\[r\left(\mathscr{Q}\right) \subseteq \mathcal{R} \]

这就证明了 \(r\left(\mathscr{Q}\right)\) 是包含 \(\mathscr{Q}\) 的最小环。

附录

1、环的定义：在测度论中，环（ring）的定义是基于集合运算的结构，它是定义测度的基础之一。环的定义如下：

设 \(X\) 是一个集合，\(\mathcal{R}\) 是 \(X\) 的子集族（即 \(X\) 的若干子集构成的集合）。我们称 \(\mathcal{R}\) 是 \(X\) 上的一个环，如果它满足以下两个条件：

1. 差闭性：对于任意的 \(A, B \in \mathcal{R}\)，集合的差集 \(A \setminus B \in \mathcal{R}\)。
   （即：对于环中的两个集合 \(A\) 和 \(B\)，它们的差集也必须属于环。）

2. 并闭性：对于任意的 \(A, B \in \mathcal{R}\)，集合的并集 \(A \cup B \in \mathcal{R}\)。
   （即：对于环中的两个集合 \(A\) 和 \(B\)，它们的并集也必须属于环。）

进一步地，由于集合的并集和差集都封闭，环也对有限交集封闭，因为我们可以通过集合之间的差集来表示交集。例如：
[ A \cap B = A \setminus (A \setminus B) ]

注意：环不一定对全集 \(X\) 闭合，因此它不一定包含 \(X\) 自身；环也不要求对无限个集合的并集或交集封闭。

2、半环的定义：在测度论中，半环（semiring）的定义是比环更为基础的一种集合结构。设 \(X\) 是一个集合，\(\mathcal{S}\) 是 \(X\) 的子集族（即 \(X\) 的若干子集构成的集合）。我们称 \(\mathcal{S}\) 是 \(X\) 上的一个半环，如果它满足以下条件：

1. 交集封闭性：对于任意的 \(A, B \in \mathcal{S}\)，集合的交集 \(A \cap B \in \mathcal{S}\)。
   （即：对于半环中的两个集合 \(A\) 和 \(B\)，它们的交集也必须属于半环。）

2. 差集的有限可分解性：对于任意的 \(A, B \in \mathcal{S}\)，如果 \(A \subseteq B\)，则存在若干个集合 \(C_1, C_2, \dots, C_n \in \mathcal{S}\)，使得：
   [
   B \setminus A = \bigcup_{i=1}^{n} C_i
   ]
   并且这些 \(C_i\) 是两两不交的。

3. 包含空集：空集 \(\emptyset \in \mathcal{S}\)。

半环的差集不一定封闭，但它保证可以通过有限个不交的集合的并集来表示差集。这个性质在构造测度时非常有用，因为它为定义测度提供了一种有限可加性的基础。

3、生成环：对于给定的集合 \(X\) 和集合系 $ \mathscr{E} \subseteq 2^X $，存在唯一的生成的 环 \(r(\mathscr{E})\)，它满足：

1. 包含集合系：$ \mathscr{E} \subseteq r(\mathscr{E}) $。
2. 最小性：$ r(\mathscr{E}) $ 是包含 $ \mathscr{E} $ 的最小环。即，对于任意 环 \(\mathscr{R}'\)，若 \(\mathscr{R}' \supseteq \mathscr{E}\)，均有：

\[\begin{aligned} \mathscr{R}' \supseteq r(\mathscr{E}) \end{aligned} \]

4、集合并差运算的分配律：

\[\begin{aligned} \left\{ \bigcup_{i=1}^n A_i \right\} \setminus B &= \left\{ \bigcup_{i=1}^n A_i \right\} \cap B^c \\ &= \bigcup_{i=1}^n \left\{A_i \cap B^c \right\} \text{ 交并分配律}\\ &= \bigcup_{i=1}^n \left\{A_i \setminus B \right\} \\ \end{aligned}\tag{5} \]

\[\begin{aligned} A \setminus \left\{ \bigcup_{j=1}^m B_j \right\} &= A \cap \left\{ \bigcup_{j=1}^m B_j \right\}^c\\ &= A \cap \left\{ \bigcap_{j=1}^m B_j^c \right\} \\ \end{aligned}\tag{5} \]

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