《测度论与概率论基础》笔记 1.3.1

1.3 \(\sigma\)域的生成

本文是程士宏老师的《测度论与概率论基础》这本书的读书笔记。这本书算是国内为数不多的较为不错的测度论教材之一，但是很多地方讲述不详细，这里进行补充。

定理 1.3.1 详细理解

书中的命题1.3.1说：由任意集合系 \(\mathscr{E}\) 生成的环、单调系、\(\lambda\) 系和 \(\sigma\) 域均存在。这里以 \(\sigma\) 域(代数) 为例子进行证明。

我们令 \(2^X\) 代表集合 \(X\) 的所有子集的集合，也就是集合 \(X\) 上最大的集合系。

定理 1.3.1：对于给定的集合 \(X\) 和集合系 $ \mathscr{E} \subseteq 2^X $，存在唯一的生成的 \(\sigma\)-代数 \(\sigma(\mathscr{E})\)，它满足：

1. 包含集合系：$ \mathscr{E} \subseteq \sigma(\mathscr{E}) $。
2. \(\sigma\)-代数性质：$ \sigma(\mathscr{E}) $ 满足 \(\sigma\)-代数 的定义，即包含全集，对补集和可数并封闭。
3. 最小性：$ \sigma(\mathscr{E}) $ 是包含 $ \mathscr{E} $ 的最小 \(\sigma\)-代数。即，对于任意 \(\sigma\)-代数 \(\mathscr{F}'\)，若 \(\mathscr{F}' \supseteq \mathscr{E}\)，均有：

思路：

这个定理说人话就是，包含集合系 \(\mathscr{E}\) 的 \(\sigma\)-代数有很多，但一定有最小的那个。这就需要我们证明两个事情。第一，证明存在性：确实存在包含集合系 \(\mathscr{E}\) 的 \(\sigma\)-代数；第二，证明有最小的元素。

这里第二点解释一下，书中采用的方法是，通过某种操作得出了一个元素，但得出的这个元素不一定属于这个集合，所以下一步就要证明这个元素依然在集合内，同时还是最小的。

有些同学可能有疑问，一个集合里面不是一定有最小的元素吗？并不是，所有大于零的实数组成的集合，这个集合里面不存在最小的元素。

证明步骤：

顺着思路走，我们肯定要构建一个集合，这个集合里面的元素是所有包含集合系 \(\mathscr{E}\) 的 \(\sigma\)-代数：

• 定义集合族：

  [
  \Sigma_{\mathscr{E}} = { \sigma \subseteq 2^X \mid \sigma \text{ 是 \(\sigma\)-代数且 } \mathscr{E} \subseteq \sigma }
  ]

  这是所有包含 $ \mathscr{E} $ 的 \(\sigma\)-代数的集合。

步骤 1：证明 \(\Sigma_{\mathscr{E}}\) 非空

• 存在性：全集的幂集 $ 2^X $ 是 $ X $ 上所有子集的集合，它显然是一个 \(\sigma\)-代数，因为：

  • 包含全集：$ X \in 2^X $。
  • 对补集封闭：对于任何 $ A \subseteq X $，其补集 $ A^c = X \setminus A \subseteq X $。因此 \(A^c \in 2^X\)
  • 对可数并封闭：任意可数个子集的并集仍然是 $ X $ 的子集。

• 包含 $ \mathscr{E} $：根据集合系的定义 $ \mathscr{E} \subseteq 2^X $ 立得。

• 结论：因此，至少存在一个包含 $ \mathscr{E} $ 的 σ-代数，即 $ 2^X $。

步骤 2：构造包含 $ \mathscr{E} $ 的所有 σ-代数的交集

• 非空性：如上所述，$ 2^X \in \Sigma_{\mathscr{E}} $，所以 $ \Sigma_{\mathscr{E}} $ 非空。

• 定义交集：

  [
  \sigma(\mathscr{E}) = \bigcap_{\sigma \in \Sigma_{\mathscr{E}}} \sigma
  ]

  这是所有包含 $ \mathscr{E} $ 的 \(\sigma\)-代数的交集。

步骤 3：证明这个交集是一个 σ-代数

要证明 $ \sigma(\mathscr{E}) $ 是一个 σ-代数，我们需要验证它满足 σ-代数的三个性质：

1. 包含全集：

   • 每个 $ \sigma \in \Sigma_{\mathscr{E}} $ 都包含全集 $ X $，因为 σ-代数的定义要求包含全集。
   • 因此，$ X \in \sigma(\mathscr{E}) $，因为交集中的每个 σ-代数都包含 $ X $。

2. 对补集封闭：

   • 设 $ A \in \sigma(\mathscr{E}) $，则对于所有 $ \sigma \in \Sigma_{\mathscr{E}} $，都有 $ A \in \sigma $。
   • 由于每个 $ \sigma $ 都是 σ-代数，$ A $ 的补集 $ A^c \in \sigma $。
   • 因此，$ A^c \in \sigma(\mathscr{E}) $，因为 $ A^c $ 存在于所有 $ \sigma $ 中。

3. 对可数并封闭：

   • 设 $ {A_n}{n=1}^\infty \subseteq \sigma(\mathscr{E}) $，则对于每个 $ \sigma \in \Sigma{\mathscr{E}} $，所有的 $ A_n \in \sigma $。
   • 因为 $ \sigma $ 是 σ-代数，对可数并封闭，所以 $ \bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \sigma $。
   • 因此，$ \bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \sigma(\mathscr{E}) $，因为它存在于所有 $ \sigma $ 中。

步骤 4：证明 $ \sigma(\mathscr{E}) $ 包含 $ \mathscr{E} $ 且是最小的

• 包含 $ \mathscr{E} $：

  • 由于每个 $ \sigma \in \Sigma_{\mathscr{E}} $ 都包含 $ \mathscr{E} $，因此其交集 $ \sigma(\mathscr{E}) $ 也包含 $ \mathscr{E} $。

• 最小性：

  • 假设有另一个 σ-代数 $ \sigma' $，使得 $ \mathscr{E} \subseteq \sigma' $。
  • 那么 $ \sigma' \in \Sigma_{\mathscr{E}} $。
  • 因此，$ \sigma(\mathscr{E}) = \bigcap_{\sigma \in \Sigma_{\mathscr{E}}} \sigma \subseteq \sigma' $。
  • 这表明 $ \sigma(\mathscr{E}) $ 是包含 $ \mathscr{E} $ 的所有 σ-代数中最小的一个。

结论

通过上述步骤，我们证明了：

• 存在性：包含 $ \mathscr{E} $ 的 σ-代数集合 $ \Sigma_{\mathscr{E}} $ 非空。
• 构造方法：$ \sigma(\mathscr{E}) = \bigcap_{\sigma \in \Sigma_{\mathscr{E}}} \sigma $ 是一个 σ-代数。
• 性质：$ \sigma(\mathscr{E}) $ 包含 $ \mathscr{E} $ 且是最小的 σ-代数。

补充说明

为什么交集保持 σ-代数的性质？

• 一般原理：对于满足某种封闭性（如包含全集、对补集和可数并封闭）的集合系统，其任意交集也会保持这些封闭性。
• 具体分析：
  • 包含全集：所有参与交集的 σ-代数都包含全集，所以交集也包含全集。
  • 对补集封闭：对于任意 $ A $ 在交集中，其补集在每个 σ-代数中都存在，所以补集也在交集中。
  • 对可数并封闭：可数个集合在交集中，它们的并集在每个 σ-代数中都存在，所以并集也在交集中。

注意事项：

• σ-代数的“封闭性”：这意味着，只要某些操作（取补集、取可数并）在所有参与的 σ-代数中都是有效的，那么它们的交集也会保持这些操作的有效性。

总结

因此，我们成功地证明了任意集合系 $ \mathscr{E} $ 生成的 σ-代数 $ \sigma(\mathscr{E}) $ 存在，它可以通过包含 $ \mathscr{E} $ 的所有 σ-代数的交集来构造。

以上内容由GPT-o1生成，笔者进行了略微修改。