直线与圆：直线の基础&&直线与点の对称问题
补遗
好像很常考，但其实高考不常考（
高考怎么能考原理这么简单，计算量这么小的东西
首先明确一个事情，关于对称，要想到一个距离相等，就是\(A\space and\space B\)关于\(C\)对称，即有\(d_{AC}=d_{BC}\)。你想想初中的关于\(x/y\)轴、原点对称，是不是这个道理？
然后我们分类讨论，易得决策有两种：直线和点，根据乘法原理，对称问题有四种：
不都写在下面了吗（
好，我们现在就开始吧！
Basic Knowledge
直线的一些指标
倾斜角\(\alpha\)：直线上方与\(x\)轴正向的夹角，\(\alpha \in[0,\pi)\)，与\(x\)轴平行或重合时，\(\alpha=0\)
斜率：\(k=\tan \alpha=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\)，注意到\(\alpha=\frac{\pi}{2}\)时，斜率不存在，大题一定要记得讨论其实什么题都要讨论
横截距：直线与\(x\)轴交点的横坐标
纵截距：直线与\(y\)轴交点的纵坐标
直线的方向向量：\(\mathrm{\overrightarrow{u}=\space <x_2-x_1,y_2-y_1>\space=\space<1,k>}\)
直线方程
点斜式：\(y-y_0=k(x-x_0)\)，不适用于斜率不存在的直线
斜截式：\(y=kx+b\)，其中\(b\)为纵截距。不适用于斜率不存在的直线
两点式：\(\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\)，其中\(y_2\not= y_1,x_2\not= x_1\)
截距式：\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)，其中\(a\) 为横截距，\(b\)为纵截距。不适用于过原点的直线
一般式：\(Ax+By+C=0\)，其中\(A,B\)不同时为0
几何关系的坐标表示
这里使用斜截式和一般式：
- \(l_1//l_2\)：
-
斜截式：\(k_1=k_2\)且\(b_1\not=b_2\)
-
一般式：\(\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\not =\frac{C_1}{C_2}\)
- \(l_1\perp l_2\)：
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斜截式：\(k_1k_2=-1\)（证明：向量法更快）
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一般式：\(A_1B_2=A_2B_1\)
距离公式
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点到点的距离（曼哈顿距离）：\(d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
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点到直线的距离：\(d=\frac{\lvert Ax_0+By_0+C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}\)
-
两条平行直线间的距离：\(d=\frac{\lvert c_2-c_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}\)
导出结论
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平行于\(l:Ax+By+C_1=0\)的直线：\(l':Ax+By+C_2=0\)
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垂直于\(l:Ax+By+C_1=0\)的直线：\(l':Bx-Ay+C_2=0\)
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过\(l_1:A_1x+B_1y+C_1=0\)和\(l_2:A_2x+B_2y+C_2=0\)的交点的直线（系）：
-
这种形式不包括\(l_1\)：\(l:A_1x+B_1y+C_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2)=0\)
-
这种形式不包括\(l_2\)：\(l:A_2x+B_2y+C_2+\lambda(A_1x+B_1y+C_1)=0\)
- 中点坐标公式：\(x'=\frac{x_1+x_2}{2},y'=\frac{y_1+y_2}{2}\)
点关于点对称
我们设点\(A(x,y)\)关于\(P(a,b)\)的对称点为\(A'(x',y')\)，想想这个：
关于原点对称：\((x,y)\rightarrow(-x,-y)\)
注意到这种情况下有\(\frac{x+x'}{2}=a,\frac{y+y'}{2}=b\)，事实上，这个公式在关于\((a,b)\)对称的任一点都是成立的。所以，我们可以算出\(A'(2a-x,2b-y)\)。
点关于直线对称
对于一点\(A(x,y)\)和一条直线\(l:Ax+By+C=0\)，我们很容易发现：
-
\(A\)和\(A'(x',y')\)一定共线。
-
\(l\)过\(AA'\)的中点。
-
这条新直线一定与\(l\)垂直。
那我们先把这些条件翻译一下：
\(\begin{cases}A\cdotp \frac{x+x'}{2}+B\cdotp\frac{y+y'}{2}+C=0\\ k_{AA'}k_l=-1\end{cases}\)
稍作整理：
\(\begin{cases}A\cdotp \frac{x+x'}{2}+B\cdotp\frac{y+y'}{2}+C=0\\ \frac{y'-y}{x'-x}\cdotp -\frac{B}{A}=-1 \end{cases}\)
当然，很多资料书也喜欢进一步整理成这个样子：
\(\begin{cases}A\cdotp \frac{x+x'}{2}+B\cdotp\frac{y+y'}{2}+C=0\\ A(y'-y)-B(x'-x)=0 \end{cases}\)
形式看起来很复杂，但本质是一样的。
直线关于点对称
首先我们想到两点确定一条直线，所以如果要确定一条直线关于一个点的对称直线，我们可以在这条直线上取两个点，算出它们的对称点。然后两个对称点所确定的直线就会是我们要求的对称直线。
显然就算取直线与\(x/y\)轴交点（有一个坐标为0），这样的方法计算量也很大，我们想想怎么优化。
注意到如果两条直线不平行，那它们不可能关于任意一个点对称，这个命题的正确性是显然的，因为不平行的两条直线旋转\(\mathrm{\pi\space rad}\)后不可能重合。
有了这个假设，我们可以直接照搬原直线的\(A,B\)两个参数。然后再想到\(d\)相等这个关键特征，把点到直线的距离相等列出来，解出对称直线的未知的\(C\)就可以了。
注意到点到直线的距离的表达式中有绝对值，所以一般有两个解，但其中一个往往可以舍去，因为它是原直线（
直线关于直线对称
首先我们想到先搞掉\(l_1//l_2\)的特殊性质。把直线\(d\)相等的表达式列出来就行了。
如果\(l_1\)不平行\(l_2\)，那它们的对称直线肯定过它们的交点。然后我们再在给出的\(l_1\)上取一点，求它关于\(l\)的对称点，这个对称点和前面的交点就可以确定对称直线了。
最值问题
用距离公式求最值
这种问题的常见考法：
定点到动直线的最大距离：
给你的直线都是可以拆成前面提到的直线系的，求出这条动直线过的定点，这个定点和题干给定点的距离即为\(d_{max}\)
平行线过定点求方程：
一个母题：\(l_1,l_2\)各过一个定点，且\(l_1//l_2\)，当\(d_{l_1 l_2}\)取得\(\max\)时，求\(l_1,l_2\)方程。
别乱转\(l_1,l_2\)，当两个定点确定的直线垂直这两条直线时，能取到\(d_{max}\)。
然后我们就确定了直线的斜率，用点斜式即可求出两直线方程。
奇形怪状の式子1：
形如\(\sqrt{(\dots)^2+(\dots)^2}\)或\((\dots)^2+(\dots)^2\)的式子求\(\min\)，都可以拆为两点距离，不管两个点是定的还是在直线上动，求\(d_{min}\)就是了。
奇形怪状の式子2：
形如\(\sqrt{(\dots)^2+(\dots)^2}\pm\sqrt{(\dots)^2+(\dots)^2}\)的式子，尝试将其拆成在一条直线上的动点到两个定点的距离的和或差。然后可以用下面的方法解答。
由对称关系求最值
要在一条给定的直线上找一点，使这个点与两个给定的点的距离和最小或差最大。
注意到我们就是在用坐标法讨论初中的“将军饮马”问题。我们也可以利用当时“化曲为直“的思想，随便挑一个给定点，求出它关于给定直线的对称点，然后将对称点与另一个给定点连线，与给定直线的交点即为\(\sum d\)取\(\min\)的点。
差最大的点，也可以先搞出对称点，然后将距离代换，利用三角关系可得到差的\(\max\)。
如图，我们要在\(l\)上找两个点\(P,P'\)，取得\((\lvert PA\rvert +\lvert PB\rvert)_{min}\)和\((\lvert P'A\rvert -\lvert P'C\rvert)_{max}\)。
我们先找到\(A\)关于\(l\)的对称点\(A'\)。此时\(BA'\)及其与\(l\)的交点\(P\)显然是所求答案。
对于差最大的情况：
-
由对称的性质有\(P'A-P'C=P'A'-P'C\)，
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又由三角不等式可得：\(\lvert P'A'-P'C\rvert \le A'C\)。
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\(\therefore(\lvert P'A\rvert -\lvert P'C\rvert)_{max}=A'C\)。\(\square\)证毕。