对数几率回归（逻辑回归）中的sigmoid函数两边取对数转换为对数几率回归模型表达式的过程

公式(3-4)是：

y = 1 1 + e − ( w T x + b ) y = \frac{1}{1 + e^{-(w^T x + b)}} y=1+e−(wTx+b)1​

这个公式描述的是逻辑回归中的sigmoid函数。

我们想从这个式子推导出 ln ⁡ ( y 1 − y ) \ln\left(\frac{y}{1 - y}\right) ln(1−yy​)，即求解 odds 的自然对数。

1. 由公式(3-4)，将两边同时乘以 1 + e − ( w T x + b ) 1 + e^{-(w^T x + b)} 1+e−(wTx+b)：
   y ( 1 + e − ( w T x + b ) ) = 1 y(1 + e^{-(w^T x + b)}) = 1 y(1+e−(wTx+b))=1

2. 接着将 y y y 移到等式右边：
   1 + e − ( w T x + b ) = 1 y 1 + e^{-(w^T x + b)} = \frac{1}{y} 1+e−(wTx+b)=y1​

3. 然后减去 1：
   e − ( w T x + b ) = 1 y − 1 = 1 − y y e^{-(w^T x + b)} = \frac{1}{y} - 1 = \frac{1 - y}{y} e−(wTx+b)=y1​−1=y1−y​

4. 取两边的自然对数：
   − ( w T x + b ) = ln ⁡ ( 1 − y y ) -(w^T x + b) = \ln\left(\frac{1 - y}{y}\right) −(wTx+b)=ln(y1−y​)

5. 最后乘以 -1，得到：
   w T x + b = ln ⁡ ( y 1 − y ) w^T x + b = \ln\left(\frac{y}{1 - y}\right) wTx+b=ln(1−yy​)

对数的性质：对数的负号会使分子和分母交换
这就是推导的过程。