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[ARC106F] Figures 题解

时间:2024-09-10 21:36:13浏览次数:14  
标签:frac int 题解 sum ARC106F times Figures prod align

生成函数大法好。

思路

考虑 prufer 序列。

如果 \(n\) 个点的度数确定,那么生成树个数为:

\[\frac{(n-2)!}{\prod (d_i-1)} \]

那么在此题中,\(n\) 个点的度数确定,那么方案数为:

\[\frac{(n-2)!}{\prod (d_i-1)}\prod\frac{a_i!}{(a_i-d_i)!} \]

其中,\(\sum d_i=2\times n-2\)。

容易发现这是一个卷积形式。

我们可以将每一个点的贡献拿出来,即 \(\frac{a_i!}{(a_i-d_i)!(d_i-1)}\)。

那么可以设生成函数:

\[f_i(x)=\sum_{j=1}\frac{a_i!x^j}{(a_i-j)!(j-1)} \]

有:

\[\begin{align} f_i(x)&=\sum_{j=1}\frac{a_i!x^j}{(a_i-j)!(j-1)}\\ &=x\sum_{j=0}a_i!\frac{x^j}{(a_i-j+1)!j}\\ &=x\sum_{j=0}a_i\frac{x^j(a_i-1)!}{(a_i-j+1)!j}\\ &=x\sum_{j=0}a_ix^j\binom{a_i-1}{j}\\ &=a_ix\sum_{j=0}x^j\binom{a_i-1}{j}\\ &=a_ix(1+x)^{a_i-1} \end{align} \]

我们要求的是:

\[\begin{align} (n-2)![x^{2\times n-2}]\prod_{i=1}^n a_ix(1+x)^{a_i-1} \end{align} \]

这东西也可以推一下:

\[\begin{align} &=(n-2)![x^{2\times n-2}]\prod_{i=1}^n a_ix(1+x)^{a_i-1}\\ &=(n-2)![x^{n-2}]\prod_{i=1}^n a_i(1+x)^{a_i-1}\\ &=(n-2)!\prod_{i=1}^n a_i\times [x^{n-2}](1+x)^{\sum a_i-n}\\ &=(n-2)!\prod_{i=1}^n a_i\times \binom{\sum a_i-n}{n-2}\\ &=\prod_{i=1}^n a_i\times \prod_{i=0}^{n-3} (\sum a_i-n-i)\\ \end{align} \]

时间复杂度:\(O(n)\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

const int mod = 998244353;

int n, m, s;
int a[200010];

signed main() {
  cin >> n, s = 1;
  for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
  for (int i = 1; i <= n; i++) (m += a[i]) %= mod;
  for (int i = 1; i <= n; i++) (s *= a[i]) %= mod;
  for (int i = 0; i <= n - 3; i++) (s *= (m - n - i)) %= mod;
  cout << (s + mod) % mod << "\n";
}

标签:frac,int,题解,sum,ARC106F,times,Figures,prod,align
From: https://www.cnblogs.com/JiaY19/p/18407270

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