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一、无穷小
定义:如果函数 \(f(x)\) 当 \(x \to x_0\) (或 \(x \to \infty\))时的极限为零,那么称函数 \(f(x)\) 为当 \(x \to x_0\) (或 \(x \to \infty\))时的无穷小.
特别地,以零为极限的数列 \(\{ x_n \}\) 称为 \(n \to \infty\) 时的无穷小。
注意:不要把无穷小与很小的数(例如百万分之一)混为一谈,因为无穷小是这样的函数,在\(x \to x_0\) (或 \(x \to \infty\))的过程中,这个函数的绝对值小于任意给定的正数 \(\varepsilon\) ,而很小的数如百万分之一,就不能小于任意给定的正数 \(\varepsilon\) ,例如取 \(\varepsilon\) 等于千万分之一,则百万分之一就不能小于这个给定的 \(\varepsilon\) 。但零是可以作为无穷小的唯一的常数,因为如果 \(f(x) \equiv 0\) ,那么对于任意给定的 \(\varepsilon > 0\) 总有 \(\vert f(x) \vert < \varepsilon\) 。
定理:在自变量的同一变化过程 \(x \to x_0\) (或 \(x \to \infty\))中,函数 \(f(x)\) 具有极限 \(A\) 的充分必要条件是 \(f(x) = A + \alpha\) ,其中 \(\alpha\) 是无穷小。
二、无穷大
定义:设函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某一去心邻域内有定义(或 \(\vert x \vert\) 大于某一正数时有定义)。如果对于给定的正数 \(M\) (不论它多么大),总存在正数 \(\delta\) (或正数 \(X\)),只要 \(x\) 适合不等式 \(0 < | x - x_0 | < \delta\) (或 \(| x | > X\))对应的函数值 \(f(x)\) 总满足不等式
\[| f(x) | > M \]那么称函数 \(f(x)\) 是当 \(x \to x_0\) (或 \(x \to \infty\))时的无穷大。
按函数极限的定义来说,当\(x \to x_0\) (或 \(x \to \infty\))时的无穷大的函数 \(f(x)\) 的极限是不存在的。但为了便于叙述函数的这一性态,我们也说“函数的极限是无穷大”,并记作
\[\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty \quad (或 \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty) \]如果在无穷大的定义中,把 \(| f(x) | > M\) 换成 \(f(x) > M\) (或 \(f(x) < -M\)),就记作
\[\lim_{x \to x_0(x \to \infty)} f(x) = + \infty \quad (或 \lim_{x \to x_0(x \to +\infty)} f(x) = - \infty) \]必须注意,无穷大(\(\infty\))不是数,不可与很大的数(如1000万、1亿等)混为一谈。
一般地说,如果 \(\lim \limits_{x \to x_0} = \infty\) ,那么直线 \(x = x_0\) 是函数 \(y = f(x)\) 的图形的铅直渐近线。
定理:在自变量的同一变化过程中,如果 \(f(x)\) 为无穷大,那么 \(\cfrac{1}{f(x)}\) 为无穷小;反之,如果 \(f(x)\) 为无穷小,且 \(f(x) \neq 0\) 为无穷大。
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