\(v_\parallel\)与\(n\)平行，\(v_\perp\)与\(n\)垂直，\(v\)可表示为\(v=v_\parallel+v_\perp\)
由观察可得
\(v_\parallel=\lVert v_\parallel\rVert\frac{n}{\lVert n\rVert}\) （1）
\(\cos\theta=\frac{\lVert v_\parallel\rVert}{\lVert v\rVert}\)，即\(\lVert v_\parallel\rVert=\cos\theta\lVert v\rVert\) （2）
将（2）带入（1），可得
\(v_\parallel=\cos\theta\lVert v\rVert\frac{n}{\lVert n\rVert}\) (3)
由点积的性质可知，\(v\cdot n=\lVert v\rVert\lVert n\rVert\cos\theta\)
由（3）乘以\(\frac{\lVert n\rVert}{\lVert n\rVert}\)可得投影公式
\(v_\parallel=v\cdot n\frac{n}{\lVert n\rVert^2}\)
即可求出\(v_\perp\)
\(\begin{align}
v_\perp&=v-v_\parallel\\
&=v-v\cdot n\frac{n}{\lVert n\rVert^2}
\end{align}\)