DATE #:20240816
ITEM #:DOC
WEEK #:FRIDAY
DAIL #:捌月拾叁
TAGS
< BGM = ["Autism--闫东炜"](https://music.163.com/song?id=1321871852&userid=8847964125) >
< theme = oi-math linear math >
< [空] >
< [空] >
< [空] >
今天不想做，所以才要做 -- 春上村树
向量小结
向量
向量：加法，数乘
\[A:(x_1,y_1),B:(x_2,y_2)\\ \vec{AB} = (x_1-x_1,y_2-y_1)\\ \vec{a} = \begin{pmatrix} x_a\\y_a \end{pmatrix},\vec{b} = \begin{pmatrix}x_b\\y_b\end{pmatrix} \\ 数乘：k \vec{a} = (kx_a,ky_a)\\ 加法：\vec{a}+\vec{b}(x_1+x_2,y_1,y_2)\\ \]向量值：\((\vec{a},\vec{b},\vec{c})\)
加；数乘：线性运算
平面向量基本定理:
\[\vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3}一定线性相关 \]正交化，单位化
\[设(\vec{a_1}....\vec{a_n}) \\ 设(\vec{a_{b_1}}....\vec{a_{bk}})极大且线性无关联 \\ \]
命题1：
\[\vec{b}可由\vec{a_1}....\vec{a_n}线性表出 \\ 标出方式唯一\Longleftrightarrow \vec{a_1}....\vec{a_n}线性无关 \\ \]\[\vec{b} = \sum_{i=1}^{n}k_i\vec{a_i} = \sum_{i=1}^{n}t_i\vec{a_i} \\ \Rightarrow \sum_{i=1}^{n}(k_i-t_i)\vec{a_i} = \vec{0} \\ \sum_{i=1}^{n}k_i\vec{a_i}=\vec{0} \]命题2:
\[\vec{a_1},......,\vec{a_n}线性无关，\vec{a_1},.....,\vec{a_n},\vec{b}线性相关 \\ \Longleftrightarrow \vec{b}可由\vec{a_1},...,\vec{a_n}线性表出 \]\[\sum k \vec{a}+k_{n+1}\vec{b} = 0 \\ k_{n+1} \ne 0 \to \vec{b} = \underline{} \\ k_{n+1}= 0\Rightarrow 矛盾 \]命题2.5:
\[(\vec{a_1},...,\vec{a_n})的极大无关(\vec{a_{k_1}},...,\vec{a_{k_t}}) \\ 可唯一表出\vec{a_i},i=1,2,...,n \\ \]命题3:
\[\vec{a_1},....,\vec{a_n}可表出\vec{b_1},....,\vec{b_m},后者线性无关 \\ 则n\ge m \]对n归纳，n=1，显然。下证n时命题成立
\(\vec{a_1},...,\vec{a_n}\)表出，\(\vec{b_1},...,\vec{b_n},\vec{b_{n+1}},\vec{b_{n+2}}\)线性表出
$\Longleftrightarrow \underline{\vec{b_1},...\vec{b_n},\vec{b_{n+1}}-X \vec{a_{n+1}}} $ 线性相关
$\Longleftrightarrow \underline{} $ 线性无关，不成立
- n+1个向量
- 都可由\(\vec{a_1},...,\vec{a_n}\)表出
- 若线性相关
命题4:
\[(\vec{a_1},...,\vec{a_n})任意两个极大值线性无关组大小相等 \]向量组的极大线性无关组大小相同
秩:\(\vec{a_1},...,\vec{a_n}\)的极大值线性无关组大小定义为秩，rank(\(\vec{a_1},...,\vec{a_n}\))
\(\vec{a} = (x_a,y_a,z_a)\)
\(\vec{a}\)线性相关 \(\Longleftrightarrow \vec{a_1} = 0\)
\(\vec{a_1},\vec{a_2}\)线性相关 \(\Longleftrightarrow\) 共线
\(\vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3}\)线性相关 \(\Longleftrightarrow\) 共面
感：n个向量线性相关，\(\Longleftrightarrow\)n-1维空间内\(\Longleftrightarrow\) n维体积为0
行列式：
\[|A|:=\sum(-1)^{\tau(j_1,j_2,...,j_n)}a_{1,j_1},a_{2,j_2}....a_{n,j_n} \\ (det A)j_1j_2...j_n \]\[(a_1,a_2,a_3,....,a_n) \\ A= \begin{pmatrix} a_{11}\ a_{12}... a_{1n}\\ a_{21}\ a_{22}... a_{2n}\\ ... \\ a_{n1}\ a_{n2}... a_{nm} \end{pmatrix}_{n \times m} \\ 矩阵n \times m \\ \begin{vmatrix} a\ b\\ c\ d \end{vmatrix} = ad-bc\\ \begin{vmatrix} 1 \ 2 \ 3 \\ 4 \ 5 \ 6 \\ 1 \ 2 \ 3 \end{vmatrix} = 15-12-24+12+24-15 = 0 \\ \]n为向量 \(a_1,...,a_m\)
\[\begin{pmatrix} a_{11}....a_{1m}\\ ....\\ a_{n1}....a_{nm} \end{pmatrix} \]矩阵的秩：\(a_1,...,a_m\)的秩rank A
(a_1,...,a_n) \(\{\sum_{i=1}^{n}:k_i\in R\}\)
矩阵的运算:
- 加 \(M_{n\times m}\times M_{n\times m}\to M_{n\times m}\)
- 数乘 \(R \times M_{n\times m} \to M_{n\times m}\)
- 乘法 \(M_{n\times m}\times M_{m\times n}\to M_{n\times s}\)
- 转置 \(M_{n\times m}\to M_{m\times n}\)
\(A=(a_{ij})_{n\times m}\)
\[A= \begin{pmatrix} a_{11}...a_{1m}\\ ...\\ a_{n1}...a_{nm} \end{pmatrix}\\ B = \begin{pmatrix} b_{11}...b_{1m}\\ ...\\ b_{n1}...b_{nm} \end{pmatrix} \]\(A+b = (a_{ij}+b_{ij})_{n\times m}\)
\(A^{\tau}或A' = (a_{ij})_{n\times m}\)
\(KA = (ka_{ij})_{n\times m}\)
\[\begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \\ 4 \ 5 \ 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \ 1\\ 4 \ 5\\ 1 \ 4\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \ 23 \\ 30 \ 53 \end{pmatrix} \]\[A_{(n\times m)}B_{(m\times s)} = C_{(n\times s)}\\ C = (C_{ij})_{n\times s}\\ C_{ij} = \sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj} \]行列式性质：
-
转置det不变
- \[\begin{vmatrix} a_{11}.....\\ a_{k1}..a_{kn}\\ ... \end{vmatrix} = t\begin{vmatrix} a_{11}........\\ \frac{1}{t}a_{k1}..\frac{1}{t}a_{kn}\\ ... \end{vmatrix} \]
- \[\begin{vmatrix} a_{11}.....\\ a_{k_1}+b_{k_1}...a_{k_n}+b_{k_n}\\ .....a_{nn} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{11}.....\\ a_{k_1}...a_{k_n}\\ ..... \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a_{11}.....\\ b_{k_1}...b_{k_n}\\ ..... \end{vmatrix} \]
-
第i，j行互换，值乘-1
-
i，j行相等，值等于0
-
$5+2\Rightarrow $i行为j行的k倍，值=0
-
\(3+6\Rightarrow\)把一行的k倍加到零一行上，值不变
矩阵的初等变换
- i行乘k
- i行加上j行上的k倍
- i，j行互换
命题：
\(|AB| = |A||B|\)
线性空间
\(y = ax+b\) 线性
\(a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n\)
(n元一次多项式)线性
- x与x之间的加法
- x与a之间的乘法
\(\Q[\R^n]_1\)
x为不定元，a为常数，a加减乘除封闭的数集
集合（L，+，·）成为域F上的线性空间，如果：
- $ +： L\times L \to L$
- $ +： 单位元 $
- \(+：交换律\)
- \(+： 逆元(负元)\)
- \(+：结合律(a+b)+c=a(b+c)\)
- \(·:F\times L \to L\)
- \(\forall x \in L,1x = x\)
- \(\forall k,l\in F,\forall x \in L kl(x)=(kl)x\)
- \(\forall k,l\in F,\forall x \in L,(k+l)x=kx+lx\)
- \(\forall k\in F,\forall x,y, \in L,k(x+y) = kx+ky\)
1-5条说明\((L,+),为一个Abel群\)
群论
群
\((G,+):\)
- 结合律
- 单位元e，\(\forall a \in G ,ae = a\)
- 逆元\(a^{-1},\forall a \in G ,aa^{-1} = e\)
环
\((R,+,\times)\):
- \((R,+)满足交换律的群（Abel群）\)
- \(\times\)结合律
- \[ a(b+c) = ab+ac\\ (a+b)c = ac+bc \]
域
\((F,+,\times)\):
- \((F,+,\times)\)是一个环
- \((F/\{0\},\times)\)是一个Abel群
\((\Z,+,\times),(\Z_{m},+,\times),(\overline{0},\overline{1},...,\overline{m-1})\)
\((\Z_p,+,\times)\)
Maxn环：
\[\Z_2^{n} = \{\begin{pmatrix}a_1\\..\\..\\..\\a_n\end{pmatrix}:a_i\in \Z_2\} \]\(\begin{pmatrix}a_1\\..\\..\\..\\a_n\end{pmatrix}\)向量，向量值，线性组合，线性表出线性相关/无关
极大线性无关组，秩
\[(a_1,...,a_m)=\begin{pmatrix}a_{11}...a_{1m}\\ .....\\ a_{n1}...a_{nm} \end{pmatrix}a\in F \]L线性空间，\(W\subset L\),\((W,+,·)\)是线性空间，W是L的线性子空间\(W \subseteq L\),
\((a_1,....,a_n)\)的所有线性组合是线性子空间，称为该空间张成的子空间\(<a_1,...,a_n>\)
\((a_1,...,a_n)\)线性无关，且\(<a_1，。。。，a_n>=L\) \(\Longleftrightarrow\) \(a_1,...,a_n\)是L的极大线性无关组
成为L的基，基所含向量个数称为L的维数，记作dim L
线性空间
L为线性空间，\(e_1,e_2,...,e_n\)是一组基
\[e_1 = \begin{pmatrix} 1\\0\\ . \\ . \\ . \\ . \\ 0\end{pmatrix} e_2 = \begin{pmatrix} 0\\1 \\. \\ . \\ .\\ .\\0 \end{pmatrix} ... e_n = \begin{pmatrix} 0 \\ . \\ .\\ . \\ . \\0 \\ 1 \end{pmatrix} \]\(F_n\)是n维的
n个线性无关，就是一组基
命题一
\(a_!,....,a_n\)张成的子空间等于它极大线性无关组张成的子空间
\(a_1,...,a_n\)线性无关
\(dim<a_1,...,a_n> = n,rank<a_1,...,a_n> = n\)
\(a_1,...,a_n\)不一定线性无关，\(rank\{a_1,...,a_n\} = r\)
命题二
\(dim<a_1,...,a_n> = rank\{a_1,...,a_n\}\)
定义集合\(S \subset L\),rankS是S的极大线性无关组所含向量个数
\(S_1\)与\(S_2\)等价
- rank(S) = r,则S的任意r+1个向量线性相关
- dim(L) = r,则L任意r个线性无关向量为一组基
- dim(L) = r,\(a_1,...,a_r\)能表出L中所有向量，则是一组基
- \(U \subseteq W\),则\(dimU \le dimW\)
- \(U\subseteq W,dimU = dimW\),则\(U=W\)
- \(rank\{a_1,...,a_n\}=dim<a_1,...,a_n>\)
线性空间命题
L is a linear space ,\(U \subseteq L,W \subseteq L\)
命题1
\(U \cap W \subseteq L\)
\(U+W:=<U \cap W>\)称为U与W的和
$ = {a_1,a_2:a_1\in U,a_2 \in W}$
命题2
\(<a_1,...a_s>+<b_1,...b_r> = <a_1,...a_s,b_1,...,b_r>\)
\[\sum_{i=1}^{s}k_ia_i+\sum_{i_1}^{r}k_ib_i=\sum_{i=1}^{s}k_ia_i+\sum_{i=s+1}^{s+r}k_ia_i\\ a_{i+s} = b_i = \sum_{i=1}^{s+r}k_ia_i \]