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【文化课 / 数学】指对放缩

时间:2024-08-13 17:05:34浏览次数:12  
标签:geq leq ln dfrac 指对 放缩 文化课 ex

1. 指对切线放缩

主要放缩形式有四种:

  • \(e^x \geq x+1\)
  • \(e^x \geq ex\)
  • \(\ln x\leq x-1\)
  • \(\ln x\leq \dfrac{x}{e}\)

一,二用于往小缩,三,四用于往大放。

对以上放缩进行证明:

  1. \(e^x \geq x+1\).
    构造 \(f(x)=e^x-x-1\),对函数求导得到 \(f'(x)=e^x-1\).
    容易发现 \(f'(x)\) 单调递增,当 \(x>0\) 时,\(f'(x)>0\);当 \(x<0\) 时,\(f'(x)<0\).
    所以 \(x=0\) 时,\(f(x)_{min}=0\).
    故 \(f(x)=e^x-x-1\geq0\),得 \(e^x \geq x+1\).
    证毕.

  2. \(e^x \geq ex\).
    构造 \(f(x)=e^x-ex\),对函数求导得到 \(f'(x)=e^x-e\).
    容易发现 \(f'(x)\) 单调递增,当 \(x>1\) 时,\(f'(x)>0\);当 \(x<1\) 时,\(f'(x)<0\).
    所以 \(x=1\) 时,\(f(x)_{min}=0\).
    故 \(f(x)=e^x-ex\geq0\),得 \(e^x \geq ex\).
    证毕.

  3. \(\ln x\leq x-1\).
    构造 \(f(x)=\ln x-x+1\),对函数求导得到 \(f'(x)=\dfrac{1}{x}-1\).
    容易发现 \(f'(x)\) 单调递增,当 \(x>1\) 时,\(f'(x)<0\);当 \(x<1\) 时,\(f'(x)>0\).
    所以 \(x=1\) 时,\(f(x)_{max}=0\).
    故 \(f(x)=\ln x-x+1\leq0\),得 \(\ln x\leq x-1\).
    证毕.

  4. \(\ln x\leq \dfrac{x}{e}\).
    构造 \(f(x)=\ln x-\dfrac{x}{e}\),对函数求导得到 \(f'(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{e}\).
    容易发现 \(f'(x)\) 单调递增,当 \(x>e\) 时,\(f'(x)<0\);当 \(x<e\) 时,\(f'(x)>0\).
    所以 \(x=e\) 时,\(f(x)_{max}=0\).
    故 \(f(x)=\ln x-\dfrac{x}{e}\),得 \(\ln x\leq \dfrac{x}{e}\).
    证毕.

1.1 例题1

证 \(e^x-\ln (x+2)>0\) 恒成立。

证明:原不等式等价于 \(e^x>\ln (x+2)\).
由 \(e^x\geq x+1\),\(\ln x\leq x-1\) 可知,\(e^x\geq x+1 \geq \ln(x+2)\).
两不等式取等条件不同,故 \(e^x>\ln (x+2)\),即 \(e^x-\ln (x+2)>0\).

1.2 例题2

当 \(x>0\) 时,证 \(ex^2-x\ln x<xe^x+\dfrac{1}{e}\).

证明:原不等式等价于 \(ex-\ln x<e^x+\dfrac{1}{ex}\).
因为 \(e^x\geq ex\),即证明 \(-\ln x<\dfrac{1}{ex}\).
由 \(-\ln x=\ln \dfrac{1}{x}\) 可知,要证明 \(\ln \dfrac{1}{x}<\dfrac{1}{ex}\).
因为 \(\ln \dfrac{1}{x}\leq\dfrac{1}{ex}\),所以 \(\ln \dfrac{1}{x}<\dfrac{1}{ex}\) 成立。
得证:\(ex^2-x\ln x<xe^x+\dfrac{1}{e}\).

1.3 例题3

当 \(x>0\) 时,证 \(e^x+x^2-(e+1)x+\dfrac{e}{x}>2\).

证明:由 \(e^x\geq ex\) 可知,放缩后原不等式为 \(x^2-x+\dfrac{e}{x}>2\).
配方可得 \(x^2-2x+1+\dfrac{e}{x}>2-x+1\) 推得 \((x-1)^2+\dfrac{e}{x}+x>3\).
由基本不等式可知 \(x+\dfrac{e}{x}\geq2\sqrt e\),易得原不等式成立。
故 \(e^x+x^2-(e+1)x+\dfrac{e}{x}>2\).

2. 指对放缩 plus

  • \(e^x\geq x+1\to e^x\geq \dfrac{x^2}{2}+x+1\).\((x\geq0)\)
  • \(e^x\geq ex\to e^x\geq ex+\dfrac{e}{2}(x-1)^2 \geq ex+(x-1)^2\).\((x\geq0)\)
  • \(\ln x\leq x-1\to \ln x \geq 1-\dfrac{1}{x}\).

上式相较于普通版本精度更高。

对以上放缩进行推导:

  1. \(e^x\geq \dfrac{x^2}{2}+x+1\).\((x\geq0)\).
    构造函数 \(f(x)=e^x-\dfrac{x^2}{2}-x-1\),对函数求导 \(f'(x)=e^x-x-1\).
    容易发现 \(f'(x)\) 单调递增,当 \(x>0\) 时,\(f'(x)>0\);当 \(x<0\) 时,\(f'(x)<0\).
    所以 \(x=0\) 时,\(f(x)_{min}=0\).
    故 \(f(x)=e^x-\dfrac{x^2}{2}-x-1\geq 0\),得 \(e^x\geq \dfrac{x^2}{2}+x+1\).\((x\geq0)\).
    证毕。

  2. \(e^x\geq ex+\dfrac{e}{2}(x-1)^2\).
    将 \(e^{x-1}\) 用 \(e^x\geq \dfrac{x^2}{2}+x+1\) 放缩可得 \(e^{x-1}\geq \dfrac{{x-1}^2}{2}+x\)
    所以 \(e^x\geq ex+\dfrac{e}{2}(x-1)^2\).
    证毕。

  3. \(e^x \geq ex+(x-1)^2\).
    由 \(2\) 显然。

  4. \(\ln x \geq 1-\dfrac{1}{x}\).
    由 \(\ln \dfrac{1}{x} \leq \dfrac{1}{x}-1\) 可知 \(-\ln \dfrac{1}{x} \geq 1-\dfrac{1}{x}\).
    由 \(-\ln x=\ln \dfrac{1}{x}\) 可知,\(\ln x \geq 1-\dfrac{1}{x}\).
    证毕。

2.1 例题 1

证 \(e^x+\dfrac{1}{x}\geq 2-\ln x+x^2+(e-2)x\).

证明:由 \(e^x \geq ex+(x-1)^2\),\(\ln x\leq x-1\),当 \(x=1\) 时同时取等可知,\(ex+(x-1)^2+\dfrac{1}{x}\geq 2-x+1+x^2+(e-2)x\).
所以 \(\dfrac{1}{x}\geq-x+2\),化简得 \((x-1)^2\geq0\).
故 \(e^x+\dfrac{1}{x}\geq 2-\ln x+x^2+(e-2)x\) 成立.

3. 飘带放缩

  • \(\dfrac{1}{2} (x-\dfrac{1}{x}) \leq \ln x \leq \dfrac{2(x-1)}{x+1}\).\((x\in (0,1])\).
  • \(\dfrac{2(x-1)}{x+1} \leq \ln x \leq \dfrac{1}{2} (x-\dfrac{1}{x})\).\((x\in (1,+\infty])\).

对以上放缩进行证明:

  1. \(\dfrac{1}{2} (x-\dfrac{1}{x}) \leq \ln x\).\((x\in (0,1])\).
    构造函数 \(f(x)=\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2x}-\ln x\),对函数求导 \(f'(x)=\dfrac{1}{2x^2}-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{(x-1)^2}{2x^2}\geq 0\).
    所以 \(f(x)\) 单调递增,当 \(x=1\) 时,\(f(x)=0\).
    因为 \(x\leq1\),所以 \(f(x)\leq 0\)。故 \(\dfrac{1}{2} (x-\dfrac{1}{x}) \leq \ln x\).\((x\in (0,1])\).

  2. \(\ln x \leq \dfrac{2(x-1)}{x+1}\).\((x\in (0,1])\).
    构造函数 \(f(x)=\ln x-\dfrac{2(x-1)}{x+1}\),对函数求导 \(f'(x)=-4(x+1)^{-2}+x^{-1}=\dfrac{(x-1)^2}{x(x+1)^2}\geq 0\).
    所以 \(f(x)\) 单调递增,当 \(x=1\) 时,\(f(x)=0\).
    因为 \(x\leq1\),所以 \(f(x)\leq 0\)。故 \(\ln x \leq \dfrac{2(x-1)}{x+1}\).\((x\in (0,1])\).

所以 \(\dfrac{1}{2} (x-\dfrac{1}{x}) \leq \ln x \leq \dfrac{2(x-1)}{x+1}\).\((x\in (0,1])\).
\(\dfrac{2(x-1)}{x+1} \leq \ln x \leq \dfrac{1}{2} (x-\dfrac{1}{x})\).\((x\in (1,+\infty])\). 同理可得。

标签:geq,leq,ln,dfrac,指对,放缩,文化课,ex
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