【文化课】导数简单题(1)

2024云南师大附中高三月考：

定义函数 \(y=f(x)\) 在 \(P(x_0,y_0)\) 处的曲率 \(k=\dfrac{|f''(x_0)|}{[1+(f'(x_0))^2]^\frac{3}{2}}\)

(\(\mathbb{I}\)) 求曲线 \(y=\ln x\) 在点 \((1,0)\) 的曲率

(\(\mathbb{II}\))已知函数 \(g(x)=x^2\ln x-\dfrac{a}{3}x^3-\dfrac{3}{2}x^2\)， \(a\in(0,\dfrac{1}{e})\)， 若存在 \(x_1,x_2(x_1<x_2)\) 使得 \(g(x)\) 的曲率为 \(0\)，求证 ：$2\ln x_1+\ln x_2>\dfrac{8}{3} $

solve：

(\(\mathbb{I}\))

则 \(f'(1)=1,f''(1)=-1\)

\(k=\dfrac{1}{2\sqrt 2}=\dfrac{\sqrt 2}{4}\)

(\(\mathbb{II}\))

\(g'(x)=2x\ln x-ax^2-2x\)

\(g''(x)=2\ln x+2-2ax-2=2(\ln x-ax)\)

曲率为 \(0\) 则有 \(g''(x_1)=g''(x_2)=0\)

则 \(a=\dfrac{\ln x_1}{x_1}=\dfrac{\ln x_2}{x_2}\)

于是 \(\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{\ln x_1}{\ln x_2}\)

设 \(w(x)=\dfrac{\ln x}{x}\)，则 \(w'(x)=\dfrac{1-ln x}{x^2}\)，零点为 \(e\)

于是 \(w(x)\) 在 \((0,e)\) 上单增，在 \((e,+\infty)\) 上单减

于是 \(0<x_1<e<x_2\)

设 \(\dfrac{x_1}{x_2}=t=\dfrac{\ln x_1}{\ln x_2}\)

因为 \(x_1=tx_2\) 所以 $t\ln x_2=\ln tx_2 =\ln t+\ln x_2 $

所以 \(\ln x_2=\dfrac{\ln t}{t-1}，\ln x_1=\dfrac{t\ln t}{t-1}\)

则 \(2\ln x_1+\ln x_2=\dfrac{(2t+1)\ln t}{t-1}\)，\(t\in(0,1)\)

要证明 \(\dfrac{(2t+1)\ln t}{t-1}>\dfrac{8}{3}\)

即证 \(\ln t-\dfrac{8(t-1)}{3(2t+1)}<0\)

构造 \(h(t)=\ln t-\dfrac{8(t-1)}{3(2t+1)}\)

\(h'(t)=\dfrac{1}{t}-\dfrac{8}{(2t+1)^2}=\dfrac{(2t-1)^2}{t(2t+1)^2}>0\)

所以 \(h(t)\) 在 \((0,1)\) 上单增

所以 \(h(t)<h(1)=0\)，原式得证