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容斥与反演

容斥

之前从没有搞清楚的：

容斥是一种方法，为了做到不重复计数，先算总和再去除重复的方法。

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所以我们可以计算任意具备一种性质的元素个数（并），通过计算“至少具备了某些元素的个数”（交）。

另一种形式：总数-不满足所有性质的元素=任意满足一种性质的元素

此时，不满足所有性质即可表示为 \(\sum_S(-1)^{n-|S|}P(S)\) 其中 P(S) 表示满足 S 中所有性质的个数。

• 小星星 [ZJOI2016]：

• 朴素 dp：令 \(f(i,j,S)\to\) [int:子树i，int:i映射到j，set:子树中的对应编号集合|的方案数]

• 考虑优化，寻找 dp 重复做了什么，哪些限制会导致复杂度高，可不可以不做

• 由于我们要避免重复映射，所以要存储子集。

• 所以考虑容斥解决这个问题

• 恰好不好满足，就可以转化为至少至多

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1. \(=\) 或 \(\neq\)

2. \(\min\) 或 \(\max\)

3. 至少或至多

4. 其他限制难以计算的时候

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例子：用这个把他变成别的条件！

那么我们就希望，存在 \(f_i\)：

\[\sum_{i=0}^m{m\choose i}f_i=a_m \]

那么可以递推求 \(f\)，则答案：

\[ans=\sum_{i=0}{n\choose i}(n-i)!f_i \]

反演

• 本质

二项式反演

\[\begin{align} &g_n=\sum_{i=0}^n{n\choose i}f_i\\ \iff&f_n=\sum_{i=0}^n{n\choose i}(-1)^{n-i}g_i \end{align} \]

• 再探错排

令 \(g_n\) 表示所有人随便站，\(f_n\) 表示恰好 \(n\) 个人站错的方案数。

那么 \(g,f\) 满足上述 \((1)\) 式。可惜我们要求 \(f_n\) 。

• 证明 （vfk）

考虑这个

\[f_n=\sum_{m=0}^n[n-m=0{n\choose m}f_m \]

正确性显然

\[\sum_{k=0}^n(-1)^k{n\choose k}=[n=0] \]

使用二项式定理展开 \((1-1)^n\) 可得，并代入

最后一个式子后面的求和即为 \(g\)

• 其他形式

常用限制放缩方法。比起容斥，这时我们不必推导容斥系数。

• P4859已经没有什么好害怕的了：

放松限制，允许有一定重复，这样就不错了。

子集反演

• 高维前缀和/子集和

实际上认为每一个二进制数的位是一个维度，取值0/1，即有 n 个维度的前缀和

• 一维前缀和：扫一遍

• 二维前缀和：先扫x再扫y

• 高维前缀和：一维一维扫

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\[\begin{align} &F[S]=\sum_{T\subset S}G[T]\\ \iff&G[S]=\sum_{T\subset S}(-1)^{|S|-|T|}F[T] \end{align} \]

组合意义：若 F 是 G 的高维前缀和，则 G 是 F 的高维差分。

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• kosare

• Ribbons on Tree

min-max 反演

\[\max\{S\}=\sum_{T\subset S}(-1)^{|T|+1}\min\{T\} \]

\[\operatorname{kthmax}(S)=\sum_{T\subset S}(-1)^{|T|-k}{|T|-1\choose k-1}\min(T) \]

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• 按位或：考虑时间问题使用 \(\text{min-max}\) 容斥。将最大的时间戳变成最小的。

  只需高维前缀和。

斯特林反演

\[\def\stira#1#2{\begin{bmatrix}#1\\ #2\end{bmatrix}} \def\stirb#1#2{\begin{Bmatrix}#1\\ #2\end{Bmatrix}} \]

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• 方阵

只有行列其中一个的限制很容易，考虑用这个计算答案。看作分成若干等价类，则存在Stirling 反演的式子。

• *异或图

容斥/反演掉连通图限制。即考虑 总共-不连通 \(\iff\) 总共-多个连通块的

可枚举子集划分，每个子集随便连，这样就有若干连通块（大于等于子集划分个数的方案数）。

这就是至少的意义：

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From： https://www.cnblogs.com/haozexu/p/18354676