通信编码揭秘：（二）信道编码（汉明码、循环冗余校验码、里德所罗门码）与其应用

通信编码揭秘：2.信道编码（汉明码、循环冗余校验码、里德所罗门码）与其应用

摘要

信道编码的目的是提高数据传输的可靠性，确保即使在噪声环境下传输的数据也能被正确接收。本文将探讨汉明码、循环冗余校验（CRC）和里德-所罗门码三种常见的信道编码方法，并通过实际例子说明它们的应用和编码效率。

前期回顾：通信编码揭秘：信源编码（Huffman Coding、Shannon-Fano Coding、Arithmetic Coding）与其应用

文章目录

• 通信编码揭秘：2.信道编码（汉明码、循环冗余校验码、里德所罗门码）与其应用
• • 摘要
  • 1. 引言
  • 2. 信道编码
  • • 2.1 汉明码
    • • 2.1.1 原理
      • 2.1.2 编码过程
      • 2.1.3 举例
      • 2.1.4 编码效率计算
    • 2.2 循环冗余校验（CRC）
    • • 2.2.1 原理
      • 2.2.2 编码过程
      • 2.2.3 举例
      • 2.2.4 编码效率计算
    • 2.3 里德-所罗门码（RS码）
    • • 2.3.1 原理
      • 2.3.2 编码过程
      • 2.3.3 举例
      • 2.3.4 编码效率计算
  • 3. 信源编码与信道编码的对比
  • 4. 总结

1. 引言

在通信系统中，信道编码是在数据传输过程中提高数据传输的可靠性的重要手段。信道编码通过增加冗余信息，使接收端能够检测和纠正传输过程中可能发生的错误。本文将详细介绍几种常见的信道编码方法。

2. 信道编码

信道编码的目的是提高数据传输的可靠性，确保即使在噪声环境下传输的数据也能被正确接收。以下分别介绍三种常见的信道编码方法：汉明码、循环冗余校验（CRC）和里德-所罗门码，并通过实际例子说明它们的应用和编码效率计算。

2.1 汉明码

2.1.1 原理

汉明码是一种能够检测并纠正单比特错误的线性分组码。通过在原始数据中插入冗余位，汉明码能够定位并纠正单比特错误。

2.1.2 编码过程

1. 计算冗余位：冗余位的数量 ( r ) 由下式确定：

   2 r ≥ m + r + 1 2^r \geq m + r + 1 2r≥m+r+1

   其中 ( m ) 是数据位的数量。

2. 确定冗余位位置：冗余位通常插入在数据的 ( 2^i ) 位置上（即第 1, 2, 4, 8,… 位）。

3. 计算每个冗余位的值：根据需要保护的数据位计算每个冗余位的值，使得所有位的奇偶校验满足要求。

4. 生成编码：将数据位与冗余位组合后形成最终的编码。

2.1.3 举例

假设我们要传输的数据为 1011，数据位数量 ( m = 4 )，根据汉明码公式 ( 2^r \geq m + r + 1 )，我们需要 3 个冗余位 (( r = 3 ))。这些冗余位 ( P1 ), ( P2 ), ( P4 ) 的位置和它们所保护的数据位由以下规则确定：

1. 冗余位位置的确定：

   • 冗余位 ( P1 ) 放在第 1 位。
   • 冗余位 ( P2 ) 放在第 2 位。
   • 冗余位 ( P4 ) 放在第 4 位。

   这些位置选定的原因是：它们是 2 的幂次位置（即 1, 2, 4,…）。这些位用于存储冗余位，而其他非幂次的位置用于存储实际数据位。

2. 冗余位的保护规则：

   • ( P1 ) 负责保护第 1, 3, 5, 7 位的值。这些位上的数据的 XOR 结果决定 ( P1 ) 的值。
   • ( P2 ) 负责保护第 2, 3, 6, 7 位的值。这些位上的数据的 XOR 结果决定 ( P2 ) 的值。
   • ( P4 ) 负责保护第 4, 5, 6, 7 位的值。这些位上的数据的 XOR 结果决定 ( P4 ) 的值。

因此，我们需要在数据 1011 中插入这 3 个冗余位，结果如下：

3. 计算冗余位：
   • ( P1 ) 的计算：保护第 1, 3, 5, 7 位，即 ( P1 = \text{XOR}(P1, 1, 1, 1) = 0 )。
   • ( P2 ) 的计算：保护第 2, 3, 6, 7 位，即 ( P2 = \text{XOR}(P2, 1, 0, 1) = 1 )。
   • ( P4 ) 的计算：保护第 4, 5, 6, 7 位，即 ( P4 = \text{XOR}(P4, 1, 0, 1) = 0 )。

最终生成的汉明码为 0101011。该码在传输时能够检测并纠正单比特错误。

2.1.4 编码效率计算

汉明码的编码效率可以通过计算码率来衡量，码率 ( R ) 定义为数据位长度与总码字长度之比：

R = m m + r R = \frac{m}{m + r} R=m+rm​

对于示例中的数据：

R = 4 4 + 3 = 4 7 ≈ 0.571 R = \frac{4}{4 + 3} = \frac{4}{7} \approx 0.571 R=4+34​=74​≈0.571

这意味着汉明码在这个例子中的编码效率为 57.1%。

2.2 循环冗余校验（CRC）

2.2.1 原理

循环冗余校验（Cyclic Redundancy Check, CRC）是一种基于多项式除法的错误检测编码。CRC通过对数据进行多项式除法，生成一个校验码附加在数据后面，从而在接收端检测出传输过程中可能发生的错误。

2.2.2 编码过程

1. 选择生成多项式：选择一个生成多项式 ( G(x) )，如 ( G(x) = x^3 + x + 1 )（对应的二进制形式为 1011）。

2. 数据多项式的扩展：将待发送的数据表示为多项式 ( D(x) )，并将其乘以 ( x^n )（其中 ( n ) 是生成多项式 ( G(x) ) 的阶数）。这一操作相当于在数据的末尾添加 ( n ) 个零，形成扩展后的数据多项式 ( D’(x) )。

3. 多项式除法：用扩展后的数据多项式 ( D’(x) ) 除以生成多项式 ( G(x) )，得到余数 ( R(x) )。

4. 生成校验码：将余数 ( R(x) ) 附加在原始数据多项式 ( D(x) ) 的末尾，形成最终的编码数据。

2.2.3 举例

假设我们要编码的数据为 1101，使用的生成多项式为 ( G(x) = x^3 + x + 1 )（对应二进制 1011）。

1. 扩展数据多项式：将 1101 扩展为 1101000，即相当于乘以 ( x^3 )。

2. 多项式除法：用 1101000 除以 1011，计算过程如下：

   • 首先，将 1101 (即 ( D(x) )) 写成 1101000 (即 ( D’(x) ))。
   • 然后使用二进制除法：

     1101000 ÷ 1011 = 1011 余 011
     

   • 余数为 011。

3. 生成编码：将余数 011 添加到原始数据的末尾，即最终编码为 1101011。

在这个例子中，1101 是原始数据，011 是校验码。

2.2.4 编码效率计算

对于CRC编码，由于加入了校验码，数据的整体长度增加，具体的编码效率可以通过码率来衡量。

2.3 里德-所罗门码（RS码）

2.3.1 原理

里德-所罗门码（Reed-Solomon Code, RS码）是一种纠错编码，能够在数据传输或存储过程中检测和纠正多个连续的符号错误。它是一种基于有限域（Galois Field, GF）上的多项式编码技术，广泛应用于数字通信和数据存储领域。

2.3.2 编码过程

RS码通过将信息符号视为有限域中的元素，并将其编码为多项式形式来进行纠错。编码过程大致如下：

1. 生成多项式 ( g(x) )：生成多项式 ( g(x) ) 是 RS码的核心，它由多个根构成，用于生成冗余符号。其表达式为：
   g ( x ) = ∏ i = 1 2 t ( x + α i ) g(x) = \prod_{i=1}^{2t}(x + \alpha^i) g(x)=i=1∏2t​(x+αi)
   其中，( t ) 为可纠正的符号错误数量，( \alpha ) 为有限域 ( GF(2^m) ) 中的一个原始元素。

2. 信息多项式 ( m(x) )：将信息符号 ( m(x) ) 表示为有限域中的一个多项式。这个多项式的阶数为 ( k-1 )，其中 ( k ) 是信息符号的个数。

3. 生成校验多项式：将信息多项式 ( m(x) ) 乘以 ( x^{n-k} ) 后对生成多项式 ( g(x) ) 取模，得到余数 ( r(x) )，即校验码：
   r ( x ) = m ( x ) ⋅ x n − k m o d    g ( x ) r(x) = m(x) \cdot x^{n-k} \mod g(x) r(x)=m(x)⋅xn−kmodg(x)
   其中 ( n ) 是码字长度，( k ) 是信息符号长度。

4. 生成码字：将校验多项式 ( r(x) ) 附加在信息多项式 ( m(x) ) 后面，形成最终的RS码字。

2.3.3 举例

假设我们使用一个简单的RS(7,3)码，即 ( n = 7 ), ( k = 3 )，并设定可纠正错误符号的数量为 ( t = 2 )。

1. 设定生成多项式：设定有限域 ( GF(2^m) ) 上的生成多项式为：
   g ( x ) = ( x + α ) ( x + α 2 ) ( x + α 3 ) ( x + α 4 ) g(x) = (x + \alpha)(x + \alpha^2)(x + \alpha^3)(x + \alpha^4) g(x)=(x+α)(x+α2)(x+α3)(x+α4)
   其中 ( \alpha ) 是有限域中的一个原始元素。

2. 信息多项式：将待发送的信息表示为多项式 ( m(x) )，如 ( m(x) = c_2x^2 + c_1x + c_0 )。

3. 生成校验码：将信息多项式 ( m(x) ) 乘以 ( x^{n-k} = x^4 ) 后对生成多项式 ( g(x) ) 取模，得到校验多项式 ( r(x) )。

4. 生成最终码字：最终码字为：
   码字 = m ( x ) ⋅ x n − k + r ( x ) \text{码字} = m(x) \cdot x^{n-k} + r(x) 码字=m(x)⋅xn−k+r(x)

这个过程中的每一步都涉及复杂的有限域运算，是RS码强大纠错能力的基础。

2.3.4 编码效率计算

对于RS(7,3)码：

• 总符号数 ( n = 7 )
• 信息符号数 ( k = 3 )
• 可纠正符号错误数量 ( t = 2 )

编码效率 ( R ) 定义为：
R = k n = 3 7 ≈ 0.429 R = \frac{k}{n} = \frac{3}{7} \approx 0.429 R=nk​=73​≈0.429
这意味着，在RS(7,3)码中，信息符号占整个码字的42.9%。

3. 信源编码与信道编码的对比

在本系列的第二期中，我们介绍了信道编码的基础知识，并将其与第一期中信源编码(点击跳转)讨论的行了对比。通过以下表格，我们可以清楚地看到信源编码和信道编码在通信系统中的角色和作用。

信源编码和信道编码分别在通信系统的不同阶段起到了重要作用。信源编码专注于减少数据冗余，从而提升传输效率；而信道编码则通过增加冗余信息，确保数据能够在噪声和错误影响下准确传输。两者结合使用能够最大化通信系统的性能，达到高效、可靠的数据传输。

4. 总结

信道编码在通信系统中扮演着至关重要的角色。通过增加冗余信息，信道编码确保数据即使在传输过程中受到干扰，也能通过纠错机制恢复原始数据。通过合理选择信道编码方法，可以在不同的应用场景中实现传输效率和可靠性的最佳平衡。