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抽象数学合集

时间:2024-07-30 21:29:07浏览次数:17  
标签:lfloor frac gcd limits sum rfloor 抽象 数学 合集

好无聊啊,来总结一下这几天学习的东西。

整除分块

整除分块常用于求解以下形式的式子:

\(\sum\limits_{i=1}\limits^{n} f(i)g(\lfloor \dfrac{n}{i} \rfloor)\)

其中 \(f\) 函数前缀和易得。

直接写结论:

\(\lfloor \dfrac{n}{i} \rfloor\) 最多只有 \(\sqrt{n}\) 种取值并且连续。我们将连续相同的一个取值段称为一个块,那么 \(x\) 所在块的右端点为 \(\lfloor \dfrac{n}{\lfloor \frac{n}{x} \rfloor} \rfloor\)。

那么我们可以利用这个性质解决问题:

例题1 UVA11526 H(n)

求 \(\sum\limits_{i=1}\limits^{n} \lfloor \dfrac{n}{i} \rfloor\)。

模板题。\(f,g\) 函数均为 \(id\) 函数。显然前缀和易求,那么就可以使用整除分块。

while(now<=n){
	res+=(n/(n/now)-now+1)*(n/now);
	now=n/(n/now)+1;
}

例题 2 P2261 [CQOI2007] 余数求和

给定 \(n,k\),求 \(\sum\limits_{i=1}\limits^{n} k \bmod i\)。

尽人皆知,原式 \(= \sum\limits_{i=1}\limits^{n} k - k \times \lfloor \dfrac{k}{i} \rfloor\)。

又出现了那个整除式子,可以使用整除分块了。

while(now<=n){
	int r=(k/now)?(k/(k/now)):n;
	r=min(r,n),res+=(F(now,r))*(k/now);
	now=r+1;
}
cout<<n*k-res<<endl;

其实,整除分块更多是用于莫比乌斯反演的一个优化求和。

狄利克雷卷积

我们定义两个积性函数 \(f,g\) 的狄利克雷卷积 \((f * g)(n) = \sum\limits_{d|n} f(d)g(\dfrac{n}{d})\)。

狄利克雷卷积满足以下性质:

  • 交换律:\(f * g = g * f\);

  • 结合律:\(f * (g * h) = (f * g) * h\);

  • 分配律:\((f + g) * h = f * h + g * h\)。

同时满足以下几条:

  • \(\mu * 1 = \epsilon\)

  • \(\varphi * 1 = id\)

  • \(f * \epsilon = f\)

  • \(\mu * id = \varphi\)

这些性质会经常用到。

和式变换

这块内容很重要,是做题推式子的基础。

和式变换定律

  • 分配律:\(\sum k a_i = k \sum a_i\);

  • 交换律:\(\sum a_i = \sum a_{b_i}\),其中 \(b\) 是 \(1 \sim n\) 的一个排列;

  • 结合律:\(\sum (a_i + b_i) = \sum a_i + \sum b_i\)。

和式变换技巧

  • 替换条件式:\(\sum\limits_{d | \gcd(n,m)} d = \sum\limits_{d=1}\limits^n [d|i][d|j]d\)

  • 替换指标变量:\(\sum\limits_{i=1}\limits^{n} \sum\limits_{j=1}\limits^{m} [\gcd(i,j) = k] = \sum\limits_{ik=1}\limits^{n} \sum\limits_{jk=1}\limits^{m} [\gcd(i,j)=k] = \sum\limits_{i=1}\limits^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} \sum\limits_{j=1}\limits^{\lfloor \frac{m}{k} \rfloor} [\gcd(i,j)=1]\)

  • 交换求和顺序:\(\sum\limits_{i=1}\limits^{n} \sum\limits_{j=1}\limits^{m} f(i)g(j) = \sum\limits_{j=1}\limits^{m} \sum\limits_{i=1}\limits^{n} f(i)g(j)\)

  • 分离变量(各回各家,各找各妈):\(\sum\limits_{i=1}\limits^{n} \sum\limits_{j=1}\limits^{m} f(i)g(j) = \sum\limits_{i=1}\limits^{n} f(i) \sum\limits_{j=1}\limits^{m} g(j)\)

熟悉上述变换以后,就可以做题了!

先上一个被清峥称为板子的题:

例题 1 P3455 [POI2007] ZAP-Queries

给定 \(n,m,k\),求 \(\sum\limits_{i=1}\limits^{n} \sum\limits_{j=1}\limits^{m} [\gcd(i,j)=k]\)。

替换指标变量:

\[\sum\limits_{i=1}\limits^{n} \sum\limits_{j=1}\limits^{m} [\gcd(i,j)=k] \]

\[=\sum\limits_{ik=1}\limits^{n} \sum\limits_{jk=1}\limits^{m} [\gcd(i,j)=k] \]

\[= \sum\limits_{i=1}\limits^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} \sum\limits_{j=1}\limits^{\lfloor \frac{m}{k} \rfloor} [\gcd(i,j)=1] \]

因为我们有 \(\mu * 1 = \epsilon\),所以我们有:

\[\sum\limits_{i=1}\limits^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} \sum\limits_{j=1}\limits^{\lfloor \frac{m}{k} \rfloor} [\gcd(i,j)=1] \]

\[= \sum\limits_{i=1}\limits^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} \sum\limits_{j=1}\limits^{\lfloor \frac{m}{k} \rfloor} \sum\limits_{d|\gcd(i,j)} \mu(d) \]

枚举 \(\gcd\):

\[= \sum\limits_{i=1}\limits^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} \sum\limits_{j=1}\limits^{\lfloor \frac{m}{k} \rfloor} \sum\limits_{d=1}\limits^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} [d = \gcd(i,j)]\mu(d) \]

\[= \sum\limits_{i=1}\limits^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} \sum\limits_{j=1}\limits^{\lfloor \frac{m}{k} \rfloor} \sum\limits_{d=1}\limits^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} [d|i][d|j]\mu(d) \]

其实就是替换条件式。

分离变量:

\[= \sum\limits_{d=1}\limits^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} \mu(d) \sum\limits_{i=1}\limits^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} [d|i] \sum\limits_{j=1}\limits^{\lfloor \frac{m}{k} \rfloor} [d|j] \]

显然:

\[= \sum\limits_{d=1}\limits^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor} \mu(d) \lfloor \dfrac{n}{dk} \rfloor \lfloor \dfrac{m}{dk} \rfloor \]

至此推式子已经完成,观察到后面的 \(\lfloor \dfrac{n}{dk} \rfloor \lfloor \dfrac{m}{dk} \rfloor\) 完全可以整除分块处理,而 \(\mu(d)\) 的前缀和通过筛法易求,于是本题就做完了,时间复杂度 \(O(\sqrt n)\)。

n/=k,m/=k;
while(now<=min(n,m)){
	int r=min(n/(n/now),m/(m/now));
	res+=(sum[r]-sum[now-1])*(n/now)*(m/now),now=r+1;
}
cout<<res<<endl;

上述 \(sum_i = \sum\limits_{j=1}\limits^{i} \mu(j)\)。

标签:lfloor,frac,gcd,limits,sum,rfloor,抽象,数学,合集
From: https://www.cnblogs.com/luqyou/p/18333355

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