有意思的一个悖论：生日悖论

标签：有意思 frac 56 exp mathcal 悖论 prod 生日

假设一年有 \(N\) 天，不考虑润年的 \(2/29\) 。假设有 \(K \ (K \leq N)\) 个人的生日是随机分布。

设 \(\mathcal{P}(K)\) 是前 \(K\) 个人中没有人生日相同的概率。这是一个有限概率问题，可以转化为组合方案数：

样本空间是 \(K\) 个人都有 \(N\) 种可能的生日，总可能的方案是 \(N^{K}\) 。

\(N\) 天中，\(K\) 个人生日不同的方案是 \(N\) 的 \(K\) 排列 \(P_{N}^{K} = \prod_{i = 0}^{K} N - i\)。

于是概率为：

\[\mathcal{P}(K) = \frac{\prod_{i = 0}^{K} N - i}{365^{K}} = \prod_{i = 0}^{K} \frac{N - i}{N} \]

存在两个人生日相同的概率为：

\[\overline{\mathcal{P}}(K) = 1 - \mathcal{P}(K) = 1 - \prod_{i = 0}^{K} \frac{N - i}{N} \]

对 \(e^{x}\) 就行 Taylor 展开可以得到经典的放缩式：

\[1 + x \leq e^{x} = exp(x) \]

（\(exp(x)\) 是 \(e^{x}\) 的另一种写法）
有

\[\begin{aligned} \mathcal{P}(K) &= \prod_{i = 0}^{K} \frac{N - i}{N} \\ &= \prod_{i = 0}^{K} 1 + \frac{- i}{N} \\ &\leq \prod_{i = 0}^{K} exp(\frac{- i}{N}) \\ &= exp(\sum_{i = 0}^{K} \frac{- i}{N}) \\ &= exp(- \frac{\sum_{i = 0}^{K} i}{N}) \\ &= exp(- \frac{\binom{K + 1}{2}}{N}) \\ &= exp(- \frac{(K + 1)K}{2 N}) \\ \end{aligned} \]

令

\[F(K) = exp(- \frac{(K + 1)K}{2 N}) = e^{- \frac{(K + 1)K}{2 N}} \]

由

\[F(K)^{'} = \frac{\Delta F(K)}{\Delta K} = \frac{\Delta exp(- \frac{(K + 1)K}{2 N})}{\Delta x} = -exp(- \frac{(K + 1)K}{2 N}) \]

恒为负数。
于是 \(F(K)\) 是单调递减函数。

设 \(N = 365\) 。

由 \(F(24) > \frac{1}{2} > F(23)\) ，则 \(\mathcal{P}(26) \leq F(23) < \frac{1}{2}\) ，有 \(\overline{\mathcal{P}}(23) = 1 - \mathcal{P}(23) > \frac{1}{2}\) 。

于是得到了生日悖论的基础形式：不考虑 \(2\) 月 \(29\) 日的情况下，随机 \(23\) 个人中，生日同一天的概率大于 \(50 \%\) 。

更进一步地，由 \(F(57) > \frac{99}{100} > F(56)\) ，则 \(\mathcal{P}(56) \leq F(56) < \frac{99}{100}\) ，有 \(\overline{\mathcal{P}}(56) = 1 - \mathcal{P}(56) > \frac{99}{100}\) 。
可以得到了生日悖论的扩展形式：不考虑 \(2\) 月 \(29\) 日的情况下，随机 \(56\) 个人中，生日同一天的概率大于 \(99 \%\) 。
另一个断言（伪的断言）是：一个大班中，一定有两个人的生日是同一天。

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