高等代数 第三章 线性空间

知识复习

向量的线性关系

我们先从方程入手

把它写成向量的形式，分别用\(\alpha_i, \beta\)表示上面的列向量，那么方程等价于\(\sum x_i \alpha_i =\beta\)

如果考虑齐次方程，那么$\sum x_i \alpha_i =0 $，\(0\)肯定是一个解，但是我们想知道的是有没有非平凡的解，也就是说有没有一组不全为0的\(x_i\)能满足方程. 为此我们引入如下定义

于是，有非零解等价于向量组 \(\alpha_i\)线性相关

定理3.4.2 \(\alpha_1, \ldots, \alpha_m\)线性相关的充要条件是 其中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合
证明：利用定义即可

定理3.4.3 已知 \(\beta\)可以表示为\(\alpha_1, \ldots, \alpha_m\)的线性组合，则表示唯一的充要条件是\(\alpha_1, \ldots, \alpha_m\)线性无关
证明：反证法.
评注：这个定理就说明了方程组有唯一解的充要条件是\(\alpha_1, \ldots, \alpha_m\)线性无关.

向量组的秩

给定一组向量，若线性相关，那么一定有一个向量可以表示为其他向量的线性组合，那么去掉它，不断重复这个过程，直到剩下的向量是线性相关的为止

定义3.5.1 （极大线性无关组）
设在线性空间 \(V\)中有一族向量 \(S\) (其中可能只有有限个向量， 也可能有无限多个向量),如果在\(S\)中存在一组向量\(\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\}\)适合如下条件：
（1）\(\alpha _1, \alpha _2, \cdots , \alpha _r\) 线性无关
（2）这族向量中的任意一个向量都可以用\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\)线性表示，
那么称\(\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\}\)是向量族\(S\)的极大线性无关组，简称极大无关组，

两个条件缺一不可，牢记. 有了极大线性无关组的定义，第一个问题便是存在性——每个向量组一定有极大线性无关组吗？由归纳法可以证明，一定存在！唯一性成立吗？唯一性并不成立. 但是 一个向量组的不同极大线性无关组的元素个数却是一样的. 也就是说，假定已知向量族\(S\)有两个极大无关组\(A,B.\)由极大无关组的定义，\(A\)和\(B\)都是线性无关的向量组且\(A\)中每个向量可以用\(B\)中向量线性表示，\(B\)中每个向量也可以用\(A\)中向量线性表示.我们希望证明：两个线性无关的向量组如果能够互相线性表示，则它们含有相同个数的向量.这只需证明一个更广泛的命题.

引理 3.5.1 设\(A,B\)是\(V\)中两组向量，\(A\)含有\(r\)个向量，\(B\)含有\(s\)个向量. 如果\(A\)中向量线性无关且\(A\)中每个向量均可用\(B\)中向量线性表示，则 \(r\leq s.\)

定义3.5.2 （向量组的秩）向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为秩，记为 \(r(S)\)

定义3.5.3 如果两个向量组可以相互表示，那么称这两个向量组等价. 等价的向量组有相同的秩.

现在我们把整个线性空间视为一个向量组，那么这个向量组的极大线性无关组就是基

定义 3.5.4 设 V 是数域\(\mathbb{K}\)上的线性空间，若在\(V\)中存在线性无关的向量\(e_1,e_2,\cdots,e_n\),使得\(V\)中任一向量均可表示为这组向量的线性组合，则称\(\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}\)是\(V\)的一组基，线性空间\(V\)称为\(n\)维线性空间(具有维数\(n).\) 如果不存在有限个向量组成\(V\) 的一组基，则称\(V\) 是无限维线性空间.

定理 3.5.4 (基扩张定理) 设 \(V\)是\(n\)维线性空间\(,v_1,v_2,\cdots,v_m\)是 \(V\)中\(m\left(m<n\right)\)个线性无关的向量，又假定\(\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}\)是\(V\)的一组基，则必可在\(\{\boldsymbol e_1,\boldsymbol e_2,\cdots,\boldsymbol{e}_n\}\) 中选出\(n-m\)个向量，使之和\(v_1,v_2,\cdots,v_m\)一起组成\(V\)的一组基.

矩阵的秩

前面我们考虑向量组的秩，现在把向量写成分量的形式，然后再拼起来，就得到一个矩阵，很自然地引出矩阵的秩的定义

定义 3.6.1 设\(A\)是\(m\times n\)矩阵，则\(A\)的\(m\)个行向量的秩称为\(A\)的行秩；\(\boldsymbol{A}\)的\(n\)个列向量的秩称为\(A\)的列秩.

定理 3.6.1 矩阵的行秩和列秩在初等变换下不变

推论 任意矩阵的行秩等于列秩
证明: 由于任意矩阵可以变换为

\[B=\begin{pmatrix}I_r&O \\O&O\end{pmatrix} \]

那么很容易看出来行秩列秩都是 $ r$.

推论 任意非异阵与矩阵\(A\)相乘,秩不变
因为非异阵可以写成有限个初等矩阵的乘积.

推论 方阵\(A\)为非异阵的充要条件是\(A\)满秩.

坐标向量

下面我们讨论坐标向量,将一般的线性空间和我们更熟悉的\(n\)维向量空间对应.

引理3.7.1 设\(e_1, \ldots ,e_n\)为向量空间 \(V\)的一组基,\(\alpha \in V, \alpha =\sum a_i e_i=\sum b_i e_i\), 那么\(a_i = b_i\).

这就表明,如果我们取定了一组基,那么每一个向量的表示方法就唯一确定了,也就是说系数固定了,我们定义如下映射$$\phi : V \to K^n$$ $$ \alpha =\sum a_i e_i \mapsto (a_1, \ldots ,a_n)$$
\((a_1, \ldots ,a_n)\)称为是\(\alpha\)在基\(e_1, \ldots ,e_n\)下的坐标. 容易验证这是一个线性同构,一些有用的小结果: \(\phi (0)=0\), \(\phi\)将线性无关组映为线性无关组.

我们知道极大线性无关组是不唯一的,换句话说,一个线性空间的基是不唯一的,刚刚我们的讨论是取定一组基,然后看坐标,现在的问题是,我们改变基,同一个向量在不同基下的坐标之间有什么关系?

子空间

现在我们开始一个新的话题,子空间,略去简单的定义,只介绍重要的部分.
首先是两类重要的例子,两个子空间的和与交

定义 3.9.2 若\(V_1,V_2\)是\(V\)的子空间，定义它们的交为既在\(V_1\)又在\(V_2\)中的
全体向量所成的集合\(V_1\cap V_2\).定义它们的和为

\[V_1+V_2=\{\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}|\boldsymbol{\alpha}\in V_1,\boldsymbol{\beta}\in V_2\}, \]

即所有形如\(\alpha+\beta\)的向量的集合，其中要求\(\alpha\in V_1,\boldsymbol{\beta}\in V_2.\)

如果给了一个向量组,也可以得到一个子空间,定义如下

定义 3.9.3 设\(S\)是线性空间\(V\)的子集，记\(L(S)\)为\(S\)中向量所有可能的线性组合构成的子集，则由定义 3.9.1 不难看出\(,L(S)\) 是\(V\) 的一个子空间，称之为由集合\(S\)生成的子空间，或称之为由\(S\)张成的子空间.

定理 3.9.1 设\(S\)是线性空间\(V\)的子集\(,L(S)\)为由\(S\)张成的子空间，则
\((1)S\subseteq L(S)\)且若\(V_0\)是包含集合\(S\)的子空间，则\(L(S)\subseteq V_0\),也即\(L(S)\)是
包含 \(S\) 的\(V\) 的最小子空间；
(2) \(L(S)\)的维数等于\(S\)中极大无关组所含向量的个数，且若\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)
是\(S\)的极大无关组，则\(L(S)=L(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\cdots,\boldsymbol{\alpha}_m).\)

定理 3.9.2 (维数公式) \(dim(V_1+V_2)=dim(V_1)+dim(V_2)-dim(V_1 \cap V_2)\)

线性方程组的解

最后一节,我们回到线性方程组的求解问题,给出一般的线性方程组解的判断定理

定理 3.10.1 设有\(n\)个未知数\(m\)个方程式组成的线性方程组：

\[\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2,\\\cdots\cdots\cdots\cdots\\\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m,\end{cases} \]

它的系数矩阵记为 \(A\),增广矩阵记为 \(\widetilde{A}\),即

\[\widetilde{A}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_{2}\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_{m}\end{pmatrix}, \]

则有下列结论：
(1)若\(\widetilde{A}\)与\(A\)的秩都等于\(n\),则该方程组有唯一一组解；
(2)若\(\widetilde{A}\)与\(A\)的秩相等但小于\(n\),即 r\((\widetilde{\boldsymbol{A}})=\)r\((\boldsymbol{A})<n\),则该方程组有无穷多组解；
(3)若\(\widetilde{A}\)与\(A\)的秩不相等，则该方程组无解.