Unit 7: Differential equations
Slope fields
对于常微分方程 \(\frac {dy} {dx} = f(x,y)\)，我们可以画出其斜率场。
具体来说，选出一些点（例如原点附近的数百个整点），利用常微分方程画出每个点处的斜率。
看起来会像是这样：
有一个基于 Desmos 的 Slope field 生成器：Slope Field Generator | Desmos
Euler's method
欧拉法用于从一个起始点开始数值求解一个微分方程的解。
- 设定一个 \(\Delta x\)，例如 \(0.01\)。\(\Delta x\) 越小，精度越高。
- 找一个起始点 \(x_0, y_0\)。
- 递推：\(x_i = x_{i-1} + \Delta x\)，\(y_i = y_{i-1} + \Delta x \times f'(x_{i-1})\)，其中 \(f'(x_{i-1})\) 可以通过给定的 ODE 直接求得。
Separable differential equations
例：解常微分方程 \(\frac {dy} {dx} = \frac {2x} {3y^2}\)。
⚠️直观但并不严谨的官方做法
\[\begin{aligned} \frac {dy} {dx} &= \frac {2x} {3y^2} \\ 3y^2 \times \frac {dy} {dx} &= 2x \\ 3y^2 dy &= 2x dx & \leftarrow \text{Really valid?} \\ \int 3y^2 dy &= \int 2x dx \\ y^3 &= x^2 + C \\ y &= \sqrt[3]{x^2 + C} \\ \end{aligned}\]✅正确的做法
\[\begin{aligned} y' &= \frac {2x} {3y^2} \\ 3y^2 \times y' &= 2x \\ \int 3y^2 \times y' dx &= \int 2x dx \\ y^3 &= x^2 + C \\ y &= \sqrt[3]{x^2 + C} \\ \end{aligned}\]- 将含有 \(y\) 和 \(y'\) 的项放到左边，将含有 \(x\) 的项放到右边。
- 等式两侧同时对 \(x\) 不定积分。
- 解它。