全文的 \(d\) 和 \(e\) 不会写作正体 \(\text d\) 和 \(\text e\)，因为我懒，而且 Khan Academy 上也没有这样写。
Unit 1: Limits and continuity
Limit
TODO:
Continuity
若 \(f\) 满足：
\[\lim\limits_{x \rightarrow c} f(x) = f(c) \]则称 \(f\) 在 \(x=c\) 处连续。
若 \(f\) 在区间内的任何一点处都连续，则称 \(f\) 在这个区间上连续。
Squeeze theorem
TODO:
Intermediate value theorem (IVT)
若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，则对于区间 \((\min(f(a), f(b)), \max(f(a), f(b)))\) 内的任何一个数 \(C\)，都存在 \(c \in (a,b)\) 满足 \(f(c) = C\)。
图像上看很符合直觉。
Unit 2: Differentiation: definition and basic derivative rules
导数的几何意义为函数图像上一点的斜率。
Definition of the derivative
\[f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {f(x+h) - f(x)} h \]Differentiability implies continuity
TODO:
Power Rule
\[(x^n)' = n x^{n-1} \]Proof
证明超纲了，略去。\(n\) 为正整数的情况可以用二项式定理证明。
Product Rule
\[(f(x) \times g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \]Proof
\[\begin{aligned} & (f(x) \times g(x))' \\ =& \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {f(x+h) g(x+h) - f(x) g(x)} h \\ =& \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {f(x+h) g(x+h) - f(x) g(x+h) + f(x) g(x+h) - f(x) g(x)} h \\ =& \left( \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {f(x+h) g(x+h) - f(x) g(x+h)} h \right) + \left( \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac {f(x) g(x+h) - f(x) g(x)} h \right) \\ =& \left( f'(x) \lim\limits_{h \rightarrow 0} g(x+h) \right) + f(x) g'(x) \\ =& f'(x) g(x) + f(x) g'(x) \\ \end{aligned}\]Quotient Rule
\[\left(\frac {f(x)} {g(x)}\right)' = \frac {f'(x)g(x) - f(x)g'(x)} {g(x)^2} \]Proof
证明基于 Unit 3 的知识点 Chain rule。
\[\begin{aligned} & \left(\frac {f(x)} {g(x)}\right)' \\ =& (f(x) \times (g(x))^{-1})' \\ =& f'(x) (g(x))^{-1} + f(x) \times (-1)(g(x))^{-2} \times g'(x) \\ =& \frac {f'(x)g(x) - f(x)g'(x)} {g(x)^2} \end{aligned}\]Derivatives of \(\sin x\), \(\cos x\)
\[\sin'x = \cos x \]\[\cos'x = -\sin x \]Proof
TODO:
Derivatives of \(\tan x\), \(\cot x\)
\[\tan' x = \sec^2 x = \frac 1 {\cos^2 x} \]\[\cot' x = - \csc^2 x = - \frac 1 {\sin^2 x} \]Proof
Use the quotient rule.
Unit 3: Differentiation: composite, implicit, and inverse functions
Chain Rule
\[(f \circ g)'(x) = (f' \circ g)(x) \times g'(x) \]即 \((f(g(x)))' = f'(g(x)) \times g'(x)\)
链式法则用于处理复合函数（composite function）的求导。
Proof
TODO:
Derivative of \(a^x\)
For \(a > 0\),
\[(a^x)' = a^x \ln a \]Proof
\[\begin{aligned} & (a^x)' \\ =& (e^{x \ln a})' \\ =& e^{x \ln a} \times \ln a & \text{Chain Rule} \\ =& a^x \ln a \\ \end{aligned}\]Derivatives of inverse functions
令 \(g\) 为 \(f\) 的反函数。
\[f'(x) = \frac 1 {g'(f(x))} \]Proof
反函数定义：
\[g(f(x)) = x \]两边同时求导：
\[g'(f(x)) \times f'(x) = 1 \]\[f'(x) = \frac 1 {g'(f(x))} \]Derivative of \(\log_a x\)
For \(a > 0 \land a \ne 1\),
\[(\log_a x)' = \frac 1 {x \ln a} \]Proof
\[\begin{aligned} & (\log_a x)' \\ =& \frac 1 {a^{\log_a x} \ln a} & \text{Derivatives of inverse functions} \\ =& \frac 1 {x \ln a} \\ \end{aligned}\]Derivative of \(\arcsin x\) and \(\arccos x\)
\[\arcsin' x = \frac 1 {\sqrt {1 - x^2}} \]\[\arccos' x = - \frac 1 {\sqrt {1 - x^2}} \]Proof
\[\arcsin' x = \frac 1 {\sin' \arcsin x} = \frac 1 {\cos \arcsin x} \]这一形式并不方便使用，所以继续推导，由于 \(\cos a = \sqrt {1 - (\sin a)^2}\)：
\[\frac 1 {\cos \arcsin x} = \frac 1 {\sqrt {1 - (\sin \arcsin x)^2}} = \frac 1 {\sqrt {1 - x^2}} \]\(\arccos\) 的推导同理。
Derivative of \(\arctan x\)
\[\arctan' x = \frac 1 {1 + x^2} \]Proof
\[\arctan' x = \frac 1 {\tan' \arctan x} = \cos^2 \arctan x \]这一形式并不方便使用，所以继续推导，由于 \(\cos^2 a = \frac 1 {1 + \tan^2 a}\)：
\[\cos^2 \arctan x = \frac 1 {1 + (\tan \arctan x)^2} = \frac 1 {1 + x^2} \]Implicit differentiation
It is an application of the chain rule.
当你有一个 \(x\) 与 \(y\) 的关系（形如一个等式），为了求 \(\frac {dy} {dx}\) 可以将等式两边同时求导。
最终得到的 \(\frac {dy} {dx}\) 中会同时含有 \(x\) 和 \(y\)。因此此方法一般与几何问题结合，用于求函数图像上某一点斜率。
Unit 4: Contextual applications of differentiation
这个 Unit 前面的内容很水，一直在做应用题，直到 Quiz 2 后面才有新知识点。
Local linearity
一般来说，将函数图像的某个局部放大，放到足够大之后看起来就像一条直线。
利用这个性质，可以用导数来估算函数值。
例：设 \(f(x) = \sqrt x\)。估算 \(f(4.36)\) 的值。
解：在 \(4.36\) 附近，\(f(4) = 2\) 是容易得到的。设 \(L(x) = f(4) + f'(4)(x-4)\) 为一条直线，则 \(f(4.36) \approx L(4.36) = 2.09\)。
实际上 \(f(4.36) \approx 2.08806\)。
在例子中，我们取的点是 \(4.36\) 和 \(4\)。不难发现，这两个点离得越近，这个方法的精度越高，离得越远则精度越低。
L'Hôpital's rule
不定式是指形如 \(\frac 0 0\)、\(\frac \infty \infty\)、\(\frac \infty {-\infty}\)、\(\frac {-\infty} \infty\)、\(\frac {-\infty} {-\infty}\) 的式子。
若需要求的极限形如 \(\lim\limits_{x \rightarrow c} \frac {f(x)} {g(x)}\)，计算 \(f(c)\) 和 \(g(c)\) 后发现 \(\frac {f(c)} {g(c)}\) 是不定式，则可以使用洛必达法则：
若 \(\lim\limits_{x \rightarrow c} \frac {f'(x)} {g'(x)}\) 存在，则：
\[\lim\limits_{x \rightarrow c} \frac {f(x)} {g(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow c} \frac {f'(x)} {g'(x)} \]Unit 5: Applying derivatives to analyze functions
Mean value theorem (MVT)
（即拉格朗日中值定理）
若 \(f\) 在 \((a,b)\) 上可导，在 \([a,b]\) 上连续，则必存在一点 \(c \in (a,b)\) 使得 \(f'(c) = \frac {f(b) - f(a)} {b-a}\)。
Extreme value theorem (EVT)
若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续，则必存在最大值和最小值。
Critical point
对于函数 \(f\)，若一个点 \(x=a\) 同时满足（1） \(f(a)\) 有定义（2）\(f'(a) = 0\) 或 \(f'(a) = \text{undefined}\)，则这个点为一个 critical point。
对于一个区间，（非区间边界上的）极值点一定是 critical point。
若经过一个 critical point 时导数的符号改变了，则这是一个 extremum point（极值点）。由正转负是最大值，由负转正是最小值。
Concavity
若 \(f''(c) > 0\)，则 \(x=c\) 在一个 concave upward 中，即开口向上。
若 \(f''(c) < 0\)，则 \(x=c\) 在一个 concave downward 中，即开口向下。
对应 critical point 的概念，对于函数 \(f\)，若一个点 \(x=a\) 同时满足（1） \(f'(a)\) 有定义（2）\(f''(a) = 0\) 或 \(f''(a) = \text{undefined}\)，则这个点为一个 candidate inflection point。
若经过一个点时二阶导数的符号改变了，则这是一个 inflection point（拐点）。即一阶导数的极值点。
标签：Calculus,cos,frac,limits,lim,AP,rightarrow,Unit,Proof From： https://www.cnblogs.com/AugustLight/p/-/AP-Calculus-Part-1