定积分
定义
略
可积性等价条件
设函数在区间 \([a,b]\) 上有界，则 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上可积等价于：
(1)对于 \(\forall \varepsilon>0\)，存在区间 \([a,b]\) 的分割 \(\Delta\)，使得
\[\sum_{i=1}^n\omega_i\Delta x_i<\varepsilon \](2)对于 \(\forall \varepsilon>0,\forall \sigma>0\)，存在区间 \([a,b]\) 的一个分割 \(\Delta\)，使得 \(\omega_i\ge \varepsilon\) 的小区间 \(\Delta x_i\) 的长度总和小于 \(\sigma\)
定积分第一中值定理
设函数 \(f(x)\in C[a,b]\)，\(g(x)\in R[a,b]\) 且在区间 \([a,b]\) 不变号，则存在 \(\xi \in [a,b]\)，使得
\[\int_a^b f(x)g(x)\mathrm dx=f(\xi)\int_{a}^bg(x)dx \]定积分第二中值定理
设函数 \(f(x)\) 是区间 \([a,b]\) 上单调上升的函数且 \(f(x)\ge 0\)，\(g(x)\in R[a,b]\)，则存在 \(\xi\in [a,b]\)，使得
\[\int_a^b f(x)g(x)\mathrm dx=f(b)\int_{\xi}^bg(x)\mathrm dx \]其它形式：如果这里的\(f(x)\) 只有单调，那么存在 \(\xi\in [a,b]\)，使得
\[\int_a^b f(x)g(x)\mathrm dx=f(a)\int_a^\xi g(x)\mathrm dx+f(b)\int_\xi^b g(x)\mathrm dx \]带积分余项的泰勒公式
\[R_n(x)=\frac 1{n!}\int_{x_0}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n\mathrm dt=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \]定积分在几何学中的应用
略
广义积分
柯西准则（无穷积分）
设函数 \(f(x)\) 在 \([a,+\infty]\) 有定义，对于 \(\forall X>a\)，\(f(x)\in [a,X]\)，则无穷积分 \(\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx\) 收敛的充要条件是：对于 \(\forall \varepsilon>0,\exists M>a\)，当 \(X_2>X_1>M\) 时，有
\[|\int_{X_1}^{X_2}f(x)\mathrm dx|<\varepsilon \]狄利克雷判别法（无穷积分）
设 \(f(x),g(x)\) 在 \([a,+\infty]\) 上有定义，且满足两个条件：
(1)对于 \(\forall X>a\)，\(g(x)\in R[a,X]\)，并且 \(\exists M>0\)，使得 \(\forall X>a\)，有
\[|\int_a^X g(x)\mathrm dx|\le M \](2) \(f(x)\) 在 \([a,+\infty)\) 单调，并且 \(\lim_{x\to +\infty}f(x)=0\)，
则无穷积分 \(\int_a^{+\infty}f(x)g(x)\mathrm dx\) 收敛
阿贝尔判别法（无穷积分）
设 \(f(x),g(x)\) 在 \([a,+\infty]\) 上有定义，并且满足下面两个条件：
(1)对于 \(\forall X>a\)，\(g(x)\in R[a,X]\)，并且 \(\int_a^{+\infty}g(x)\mathrm dx\) 收敛
(2) \(f(x)\) 在 \([a,+\infty)\) 单调有界
瑕积分
称 \(x_0\) 是 \(f(x)\) 的一个瑕点，如果 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某个去心（左或右）邻域邻域内有定义，但在该去心（左或右）邻域内误解
设函数 \(f(x)\) 在区间 \((a,b]\) 上有定义， \(a\) 是 \(f(x)\) 的一个瑕点，若对于 \(\forall 0<\delta<b-a\)，\(f(x)\) 在区间 \([a+\delta,b]\) 上可积，且极限
\[\lim_{\delta\to 0+0}\int_{a+\delta}^b f(x)\mathrm dx \]存在，则称瑕积分 \(\int_{a}^b f(x)\mathrm dx\) 收敛，并记
\[\int_a^b f(x)\mathrm dx=\lim_{\delta\to 0+0}\int_{a+\delta}^b f(x)\mathrm dx \]之后关于瑕积分的讨论，总是假定 \(b\) 是瑕点，并且在 \([a,b)\) 的任意子区间上可积
柯西准则（瑕积分）
瑕积分 \(\int_a^b f(x)\mathrm dx\) 收敛的充要条件是：对于 \(\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0\)，当 \(0<\delta_2<\delta_1<\delta\) 时，有
\[|\int_{b-\delta_1}^{b-\delta_2}f(x)\mathrm dx|<\varepsilon \]狄利克雷判别法（瑕积分）
设 \(f(x),g(x)\) 在区间 \([a,b)\) 上满足下述条件：
(1) \(\exists M>0\)，使得对于 \(\forall \delta>0\)，有
\[|\int_a^{b-\delta}g(x)\mathrm dx|\le M \](2) \(f(x)\) 在 \([a,b)\) 上单调，且 \(\lim_{x\to b-}f(x)=0\)
则瑕积分 \(\int_{a}^b f(x)g(x)\mathrm dx\) 收敛
阿贝尔判别法（瑕积分）
(1) \(\int_a^b g(x)\mathrm dx\) 收敛
(2) \(f(x)\) 在 \([a,b)\) 上单调有界
则瑕积分 \(\int_a^b f(x)g(x)\mathrm dx\) 收敛
数项级数
柯西准则 （数项级数）
设 \(\sum_{n=1}^{+\infty} a_n\) 是一个数项级数，则它收敛的充要条件是：对于 \(\forall \varepsilon>0,\exists N>0\)，当 \(n>m>N\) 时有
\[|\sum_{k=m+1}^n a_k|<\varepsilon \]比较判别法（正项级数）
若存在 \(c>0\)，\(a_n\le cb_n\)，则 \(\sum_{n=1}^{+\infty}b_n\) 收敛时，\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 也收敛
柯西判别法（正项级数）
记 \(\sum_{n=1}^{+\infty}a_n\) 为一个正项级数，记
\[\overline{\lim_{n\to \infty}} \sqrt[n]{a_n}=r \](1)当 \(r<1\) 时，收敛
(2)当 \(r>1\) 时，发散
拉贝判别法（正项级数）
计算 \(n\to +\infty\) 时
\[n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1) \]的上下极限，若下极限大于 \(1\)，那么收敛，若上极限小于 \(1\)，则发散
柯西积分判别法（正项级数）
略
莱布尼茨交错级数判别法
设 \(\{a_n\}\) 单调趋于 \(0\)，则交错级数 \(\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}a_n\) 收敛
狄利克雷判别法（数项级数）
\(\{a_n\}\) 的部分和序列有界，\(\{b_n\}\) 单调趋于 \(0\)，则数项级数 \(\sum_{n=1}^{+\infty}a_nb_n\) 收敛
阿贝尔判别法（数项级数）
\(\sum_{n=1}^{+\infty}a_n\) 收敛，序列 \(\{b_n\}\) 单调有界，则 \(\sum_{n=1}^{+\infty}a_nb_n\) 收敛
函数序列与函数项级数
柯西准则（函数序列一致收敛）
\(\{f_n(x)\}\) 是定义在 \(I\subset \mathbb R\) 的函数序列，则在 \(I\) 上一致收敛充要条件是：对于 \(\forall\varepsilon>0\)，存在 \(N\in \mathbb N\)，当 \(n,m>N\) 时，对于一切 \(x\in I\)，有
\[|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon \]最值判别法（函数序列一致收敛）
\(\{f_n(x)\}\)，\(I\)，则 \(f_n(x)\rightrightarrows f(x)(x\in I)\) 的充要条件是
\[\lim_{n\to \infty}\sup_{x\in I}\{|f_n(x)-f(x)|\}=0 \]魏尔斯特拉斯 \(M\) 判别法（函数项级数）
若存在正数序列 \(M_n\)，满足 \(|u_n(x)|\le M_n,\forall x\in I\)，并且 \(\sum_{i=1}^{+\infty}M_n\) 收敛
则 \(\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x)\) 绝对一致收敛
狄利克雷判别法（函数项级数）
设函数序列 \(\{u_n(x)\},\{v_n(x)\}\) 在 \(I\subset \mathbb R\) 上有定义，且：
(1) \(\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x)\) 的部分和序列在 \(I\) 上一致有界
(2) \(\forall x\)，\(v_n(x)\) 是单调的，且 \(v_n(x)\rightrightarrows 0(x\in I)\)
则 \(\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x)v_n(x)\) 在 \(I\) 上一致收敛
阿贝尔判别法（函数项级数）
(1) \(\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x)\) 在 \(I\) 上一致收敛
(2) \(\forall x\)，\(v_n(x)\) 是单调的，且 \(\{v_n\}\) 在 \(I\) 上一致有界
则 \(\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x)v_n(x)\) 在 \(I\) 上一致收敛
狄尼定理
设 \(f_n(x)\in C[a,b]\)，\(f_n(x)\le f_{n+1}(x)\)，\(\lim_{n\to \infty}f_n(x)=f(x)\)
则 \(f(x)\in C[a,b]\Leftrightarrow f_n(x)\rightrightarrows f(x)(x\in [a,b])\)
极限函数的连续性
设函数 \(f_n(x)\in C[a,b](n=1,2,\dots)\)，且 \(f_n(x)\rightrightarrows f(x)(x\in [a,b])\)，则 \(f(x)\in C[a,b]\)
更强的结论：设 \(\{f_n(x)\}\) 是定义在 \([a,b]\backslash \{x_0\}\) 上的函数序列，其中 \(x_0\in [a,b]\)，如果 \(f_n(x)\rightrightarrows f(x),(x\in [a,b]\backslash \{x_0\})\)，并且对每个 \(n\ge 1\)，有 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=c_n\)，则 \(\lim_{n\to \infty}c_n\) 存在，并且有 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{n\to +\infty}c_n\)
极限函数的积分
\(f_n(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积，且 \(f_n(x)\rightrightarrows f(x)(x\in [a,b])\)，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可积，并且成立
\[\lim_{n\to \infty}\int_a^b f_n(x)\mathrm dx=\int_a^b f(x)\mathrm dx=\int_a^b\lim_{n\to \infty}f_n(x)\mathrm dx \]换成函数项级数的写法，\(u_n(x)\) 在 \([a,b]\) 可积，且 \(\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x)\) 在 \([a,b]\) 一致收敛，则 \(\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x)\) 的和函数在 \([a,b]\) 可积，并且成立：
\[\int_a^b(\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x))\mathrm dx=\sum_{n=1}^{+\infty}\int_a^b u_n(x)\mathrm dx \]极限函数的导数
设函数 \(f_n(x)\) 在区间 \([a,b]\) 可微，且满足：
(a)存在 \(x_0\in [a,b]\)，使得 \(\lim_{n\to\infty}f_n(x_0)\) 存在
(b) \(f^\prime_n(x)\rightrightarrows g(x)(x\in [a,b])\)
则有结论：
(1)存在 \([a,b]\) 上的函数 \(f(x)\)，使得 \(f_n(x)\rightrightarrows f(x)(x\in [a,b])\)
(2) \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上可微（端点单侧可微），并且 \(f^\prime(x)=g(x)\)，即
\[\lim_{n\to\infty}f^\prime_n(x)=[\lim_{n\to\infty}f_n(x)]^\prime \]幂级数
收敛半径
对于幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)，记 \(\rho=\overline{\lim}_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\)，则收敛半径为 \(\frac 1\rho\)
对于幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)，记 \(\rho=lim_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\)，则收敛半径为 \(\frac 1\rho\)
引理
设幂级数 \(\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\) 在 \(x_0\neq 0\) 处收敛，则该级数在 \((-|x_0|,|x_0|)\) 内闭绝对一致收敛
证明：只需证明任意 \(0<\delta_0<1\)，在 \([-\delta_0|x_0|,\delta_0|x_0|]\) 上一致收敛，由于 \(\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx_0^n\) 收敛，因此 \(\lim_{n\to+\infty}a_nx_0^n=0\)，因此存在 \(M>0\)，对于所有 \(n\)，\(|a_nx_0^n|\le M\)，于是对于 \(\forall x\in[-\delta_0|x_0|,\delta_0|x_0|]\)，有 \(|a_nx^n|\le M\delta_0^n\)，而 \(M\delta_0^n\) 收敛，因此 \(\sum_{n=0}^{\infty}|a_nx^n|\) 在 \([-\delta_0|x_0|,\delta_0|x_0|]\) 上一致收敛
阿贝尔定理
设幂级数 \(\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\) 的收敛半径为 \(R>0\)，则
(1) \(\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\) 在 \((-R,R)\) 内一致收敛
(2) 若 \(\sum_{n=0}^{+\infty}R^n\) 收敛，则 \(\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\) 在 \((-R,R]\) 的任何闭子区间一致收敛
(3) 若 \(\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^na_nR^n\) 收敛，则 \(\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\) 在 \([-R,R)\) 的任何闭子区间一致收敛
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