离散型随机变量常见分布
(1)01 分布
\[P(X=k)=p^k(1-p)^{1-k} \](2)二项分布
记作 \(X\sim B(n,p)\)
\[P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \](3)几何分布
称 \(X\) 为服从参数为 \(p\) 的几何分布
\[P(X=k)=(1-p)^{k-1}p \](4)Pascal分布（负二项分布）
\[P(X=k)=\binom{k-1}{r-1}p^r(1-p)^{k-r} \]组合意义是 \(X\) 是第 \(r\) 次事件 \(A\) 发生的时刻
(5)超几何分布
设一批产品数为 \(N\)，次品 \(M\) 个，不放回抽样 \(n\) 个，其中次品数为随机变量 \(X\)
\[P(X=k)=\frac{\binom Mk\binom{N-m}{n-k}}{\binom Nn} \](6)泊松分布
\[P(X=k)=e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} \]记作 \(X\sim \pi(\lambda)\) 或 \(P(\lambda)\)
泊松定理
设 \(X\sim B(n,p_n),n=1,2,\dots\)
又设 \(np_n\to \lambda>0\)，则对固定的 \(k\)
\[\lim_{n\to +\infty}\binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} \]连续型随机变量常见分布
如没有特殊说明，\(f(x)\) 是概率密度函数，\(F(x)\) 是概率分布函数
(1)均匀分布
\[f(x)=\frac 1{b-a},(a<x<b) \]记作 \(X\sim U(a,b)\)
(2)指数分布
\[f(x)=\lambda e^{-\lambda x},x\ge 0 \]\[F(x)=1-e^{-\lambda x},x\ge 0 \]记作 \(X\sim E(\lambda)\)
对于任意 \(0<a<b\)，\(P(a<X<b)=e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}\)
(3)正态分布
\[f(x)=\frac 1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac {(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]记作 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)
(4)\(\Gamma\)分布
\[f(x)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\beta x},x>0 \]记作 \(X\sim \Gamma(\alpha,\beta)\)，其中
\[\Gamma(\alpha)=\int_{0}^{+\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}\mathrm dx \]当 \(\alpha=1\) 时，\(\Gamma(\alpha,\beta)\) 退化为 \(E(\beta)\)
当 \(\alpha=\frac n2,\beta=\frac 12\) 时，\(\Gamma(\alpha,\beta)\) 退化为自由度为 \(n\) 的 \(\chi^2\) 分布，记作 \(X\sim \chi^2(n)\)，即 \(\Gamma(\frac n2,\frac 12)=\chi^2(n)\)
性质
(i)\(\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)\)
(ii)对于任意正整数，\(\Gamma(n+1)=n!\)
(iii)\(\Gamma(\frac 12)=\pi^{\frac 12}\)
验证
\[\begin{aligned} \int_{0}^{+\infty}f(x)\mathrm dx&=\frac 1{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{+\infty}(\beta x)^{\alpha-1}e^{-\beta x}\mathrm d\beta x\\ &=1 \end{aligned} \]联合密度
雅可比行列式
已知 \(X,Y\) 的联合密度 \(f_{XY}(x,y)\)，设 \(Z=g(X,Y),U=r(X,Y)\)，存在唯一的反函数 \(X=h(Z,U),Y=s(Z,U)\)，且 \(h,s\) 有连续的偏导数，记
\[J(z,u)=\begin{vmatrix}\frac{\partial h}{\partial z} & \frac{\partial h}{\partial u} \\ \frac{\partial s}{\partial z} & \frac{\partial s}{\partial u}\end{vmatrix} \]那么 \(f_{ZU}(z,u)=f_{XY}(h(z,u),s(z,u))|J(z,u)|\)，注意是取绝对值
标签：信息学,概率,frac,beta,统计,alpha,partial,Gamma,lambda From： https://www.cnblogs.com/xay5421/p/18249354