提示：文章写完后，目录可以自动生成，如何生成可参考右边的帮助文档
文章目录
声明：这是本人第一次在CSDN上写博客，使用还不熟悉，如有错误还请见谅。
前言
点云学习中一个很重要的概念，特征描述子。比较常用的就是PFH与FPFH，之前自己学习的时候为了弄清楚具体原理，也是各种查资料，但是针对 [ α , ϕ , θ ] [\alpha,\phi,\theta] [α,ϕ,θ]，这三个的具体求法总是不明白，网上查的很多资料也并没有将具体的推导过程，所以今天将自己的理解写下来，希望对那些这方面也有疑惑的朋友能起到一点帮助。
原理示意图
PFH与FPFH二者之间的区别相信各位都已经了解，网上相关介绍非常之多，在此不再赘述。
上图中，我们一般默认
p
1
p_{1}
p1为源点建立局部坐标系。在此说明这个源点是如何确定的，具体思想是：法向量与两点连线的夹角较小的那个点为源点。注意
p
1
p_{1}
p1的法向量
n
1
n_{1}
n1，与
p
2
p_{2}
p2的法向量
n
2
n_{2}
n2，明显
n
1
n_{1}
n1与两点连线的夹角更小，故
p
1
p_{1}
p1为源点，先在此建立局部坐标系。（注：上述法向量均为单位法向量，即模值为1）
1、局部坐标系的建立
第一个轴：这个很容易确定，就是 p 1 p_{1} p1的法向量 n 1 n_{1} n1。
第二个轴：法向量 n 1 n_{1} n1， p 1 p 2 p_{1}p_{2} p1p2这条线会组成一个平面，以垂直这个平面的向量 v v v作为第二个轴。显然 v = ( p 2 − p 1 ) × u v=(\begin{matrix}p_2-p_1\end{matrix})\times u v=(p2−p1)×u。（叉乘应该就不需要解释了吧…）
第三个轴：上面两个轴再叉乘…。 w = u × v w=u\times v w=u×v
最后就是归一化，使得三个坐标轴向量长度均为1。
u
=
n
1
u=n_{1}
u=n1由于
n
1
n_{1}
n1本身就是单位向量，故
u
u
u不需要变化。
v
=
u
×
p
2
−
p
1
∥
p
2
−
p
1
∥
2
v=u\times\frac{p_{2}-p_{1}}{\|p_{2}-p_{1}\|_{2}}
v=u×∥p2−p1∥2p2−p1
p
1
p_{1}
p1，
p
2
p_{2}
p2之间的连线长度不确定，所以需要归一化，故需要除以二者之间的模长，即
∥
p
2
−
p
1
∥
2
\|p_2-p_1\|_2
∥p2−p1∥2。两个单位向量的叉乘还是单位向量，故
v
v
v的最终形式确定。
w
=
u
×
v
w=u\times v
w=u×v
引用上面的一句话：两个单位向量的叉乘还是单位向量，故
w
w
w的最终形式确定…
到此为止，上面图片中三个轴的建立就讲清楚了。
2、描述子三元素具体求法。
我这里说的三元素其实就是 [ α , ϕ , θ ] [\alpha,\phi,\theta] [α,ϕ,θ]，其实还有一个元素 d d d，不过咱们一般都默认忽略了就。先解释一下： α \alpha α就是 p 2 p_{2} p2的法向量 n 2 n_{2} n2与坐标轴 v v v的夹角。 ϕ \phi ϕ就是 p 1 p_{1} p1的法向量 n 1 n_{1} n1与两个点连线之间的夹角。 θ \theta θ不好叙述，在此先不介绍，后面具体推到过程中各位就明白了。
推导 α \alpha α：
v
⋅
n
2
=
∣
v
∣
⋅
∣
n
2
∣
cos
α
v\cdot n_{2}=|v|\cdot|n_{2}|\cos\alpha
v⋅n2=∣v∣⋅∣n2∣cosα
向量的点乘公式，此时请注意
v
v
v与
n
2
n_{2}
n2均为单位向量，模长全为1，故上式可以写成：
v
⋅
n
2
=
cos
α
v\cdot n_{2}=\cos\alpha
v⋅n2=cosα
因为0-180°中，cos函数是单调的，所以此时咱们使用
cos
α
\cos\alpha
cosα，或者是
α
\alpha
α，都没什么影响，因为都是唯一确定的一个值。为了方便一般写作
α
\alpha
α。第一个公式推导完毕：
α
=
v
⋅
n
2
\alpha=v\cdot n_{2}
α=v⋅n2
推导 ϕ \phi ϕ：
原理其实和上面的相同，都是忽略了cos而已。故不在多余介绍。
推导 θ \theta θ
首先有必要介绍一些基础数学知识，先上图（实在懒得在电脑上画图了，直接手搓了一个，凑合能看…）。
解释一下：上面的向量
a
a
a，
b
b
b均为单位向量，二者之间夹角为
θ
\theta
θ（不好意思忘了区分了，这里的符号就是一个基础知识，不要和本文内容弄混），向量
a
a
a在向量
b
b
b的投影为向量
c
c
c。那么向量
c
c
c应该如何表示呢？我们开始推导：
a
⋅
b
=
∣
a
∣
∣
b
∣
⋅
cos
θ
=
cos
θ
\begin{aligned}a\cdot b&=|a||b|\cdot\cos\theta\\&=\cos\theta\end{aligned}
a⋅b=∣a∣∣b∣⋅cosθ=cosθ
注意向量
a
a
a，向量
b
b
b模长均为1。在这个直角三角形中：向量
c
c
c模长：
∣
c
∣
=
∣
a
∣
⋅
cos
θ
|c|=|a|\cdot\cos\theta
∣c∣=∣a∣⋅cosθ
把这里模长
a
a
a换成模长
b
b
b，因为都是单位向量嘛，换后也没影响。所以：
∣
c
∣
=
∣
b
∣
⋅
cos
θ
|c|=|b|\cdot\cos\theta
∣c∣=∣b∣⋅cosθ
再从向量的角度进行考虑，向量
c
c
c与向量
b
b
b共线，结合上式，故：
c
=
b
⋅
cos
θ
c=b\cdot\cos\theta
c=b⋅cosθ
向量
c
c
c表示为上，当然还可以再变形，几个公式来回代入就好。这里其实只需要用到向量
c
c
c的模长：
∣
c
∣
=
∣
b
∣
cos
θ
=
cos
θ
=
a
⋅
b
|c|=|b|\cos\theta=\cos\theta\\=a\cdot b
∣c∣=∣b∣cosθ=cosθ=a⋅b
这里记住公式：
∣
c
∣
=
a
⋅
b
|c|=a\cdot b
∣c∣=a⋅b。后面会用到。
ok，基础知识讲完，下面回归正题。
回到最上面的原理图，
p
2
p_{2}
p2点出，灰色的三个箭头就是投影到这里的坐标轴。此时咱们尽量不要被那个原理图所迷惑，图中给出的是直接法向量投影，个人觉得这样不好理解，看我下面讲的就好。咱们首先将这个点处的法向量
n
2
n_{2}
n2分别向
u
u
u和
w
w
w两个轴投影，投影点分别为n和m。投影的平面图如下所示：
我们可以根据两个点n、m和坐标轴，画出一个长方形，连接对角线
o
p
2
op_{2}
op2。对角线
o
p
2
op_{2}
op2与
u
u
u轴的夹角即为最上方原理图中的
θ
\theta
θ。此时咱们在三角形中求
θ
\theta
θ。
tan
θ
=
o
n
n
p
2
∴
θ
=
arctan
o
n
n
p
2
\begin{aligned}\tan\theta&=\frac{on}{np_{2}}\\\therefore\theta&=\arctan\frac{on}{np_{2}}\end{aligned}
tanθ∴θ=np2on=arctannp2on
此时还记得之前讲的基础知识里，最后我让咱们记住的那个公式吗：
∣
c
∣
=
a
⋅
b
|c|=a\cdot b
∣c∣=a⋅b
结合起来看：
∣
o
n
∣
=
u
⋅
n
2
|on|=u\cdot n_{2}
∣on∣=u⋅n2
∣
n
p
2
∣
=
w
⋅
n
2
|np_{2}|=w\cdot n_{2}
∣np2∣=w⋅n2
所以说最后
θ
\theta
θ的公式为：
θ
=
arctan
(
u
⋅
n
2
,
w
⋅
n
2
)
\theta=\arctan(u\cdot n_{2},w\cdot n_{2})
θ=arctan(u⋅n2,w⋅n2)
到此为止，咱们的问题就全部解决了吗？并没有！此时可能会有人问：公式顺序不对呀，我看好多教程是
θ
=
arctan
(
w
⋅
n
2
,
u
⋅
n
2
)
\theta=\arctan(w\cdot n_{2},u\cdot n_{2})
θ=arctan(w⋅n2,u⋅n2)，你推导的怎么前后颠倒了，而且你推导的是除号，怎么最终公式中成逗号了？
关于这一点，说一下我的理解：
首先前后颠倒错了吗？并没有，各位注意下我画的图，包括各位在其他地方看到的所有原理图，
θ
\theta
θ全部是与
u
u
u轴的夹角，但是我们注意一下与
θ
\theta
θ互余的那个角，就是对角线与
w
w
w轴的夹角，这个夹角其实也可以看做是
θ
\theta
θ，这是两种不同的标准，只要全部统一，
θ
\theta
θ到底选择是和哪个轴的夹角其实无伤大雅，因为并不影响特征。其次就是说的逗号问题，个人理解就是因为考虑到这种情况，所以才写成逗号的，因为两种方式计算都可以。
放在最后
相信如果慢慢的读下来，绝对可以让你清晰理解这方面的推导。可能很多地方讲的不好，如果不足，还请指正！
标签：cos,p1,特征描述,cdot,PFH,FPFH,theta,n2,向量 From： https://blog.csdn.net/weixin_49166952/article/details/139621763