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SVM 分类器的误差函数
SVM 使用两条平行线，使用中心线作为参考系 \(L: \ w_1x_1 + w_2x_2 + b = 0\)。我们构造两条线，一条在上面，一条在下面，分别为：
\[L+: \ w_1x_1 + w_2x_2 + b = 1 \\ L-: \ w_1x_1 + w_2x_2 + b = -1 \]分类器由 \(L+\) 和 \(L-\) 组成。为训练 SVM，我们需要为由两条线组成的分类器构建一个误差函数，期望达成的目标有两个：
- 两条线中的每一条都应尽可能对点进行分类。
- 两条线应尽可能彼此远离。
误差函数表示如下：
\[误差 = 分类误差 + 距离误差 \]分类误差函数
点 \((x_1, x_2)\) 的预测函数为
\[\hat{y} = step(w_1x_1 + w_2x_2 + b) \]显然这是一个离散感知器，其中：
\[y = step(x) = \begin{cases} 0, x \leq 0 \\ 1, x > 0 \end{cases} \]定义分类误差函数如下：
\[\begin{cases} 0, 错误分类 \\ |w_1x_1 + w_2x_2 + b|, 正确分类 \end{cases} \]例如，考虑标签为 \(0\) 的点 \((4,3)\)，两个感知器给出的预测为：
\[L+: \hat{y} = step(2x_1 + 3x_2 - 7) = 1 \\ L-: \hat{y} = step(2x_1 + 3x_2 - 5) = 1 \]可以看到两个感知器均预测错误，此时分类误差为：
\[|2x_1 + 3x_2 - 7| + |2x_1 + 3x_2 - 5| = 22 \]距离误差函数
若两个线性方程如下：
\[L+: \ w_1x_1 + w_2x_2 + b = 1 \\ L-: \ w_1x_1 + w_2x_2 + b = -1 \]根据两条平行直线间的距离公式：
\[d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]则这两条平行线的垂直距离为：
\[d = \frac{2}{\sqrt{w_1^2 + w_2^2}} \]此为距离误差。注意到，当 \(w_1^2 + w_2^2\) 很大时，\(d\) 很小；当 \(w_1^2 + w_2^2\) 很小时，\(d\) 很大。因此 \(w_1^2 + w_2^2\) 是一个很好的误差函数。
C 参数
很多时候我们希望 SVM 分类器能侧重于分类误差或距离误差其中一个方面，那么我们可以使用 C 参数：
\[误差 = C \cdot 分类误差 + 距离误差 \]C 参数如何控制两者的呢？
- C 很大：误差公式以分类误差为主，SVM 分类器更侧重于对点进行正确分类；
- C 很小：误差公式以距离误差为主，SVM 分类器更侧重于保持线之间的距离。
下面是一个例子：
svm_c_001 = SVC(kernel='linear', C=0.01)
svm_c_001.fit(features, labels)
svm_c_100 = SVC(kernel='linear', C=100)
svm_c_100.fit(features, labels)
上图为 C=0.01 的情况，下图为 C=100 的情况：
非线性边界的 SVM 分类器（内核方法）
多项式内核
- 在变量 \(x_1, x_2\) 使用 2 阶多项式内核，就需要计算这些单项式：\(x_1, x_2, x_1^2, x_1x_2, x_2^2\)，然后尝试把它们线性组合起来，比如通过检查发现这是一个有效的分类器公式：\(x_1^2 + x_2^2 = 1\)
- 这相当于将二维平面映射到一个五维平面，即点 \((x_1, x_2)\) 到点 \((x_1, x_2, x_1^2, x_1x_2, x_2^2)\) 的映射
- 类似地，在变量 \(x_1, x_2\) 使用 3 阶多项式内核，就需要计算这些单项式：\(x_1, x_2, x_1^2, x_1x_2, x_2^2, x_1^3, x_1^2x_2, x_1x_2^2, x_2^3\)，然后尝试把它们线性组合起来，通过检查发现一个有效的分类器公式
代码如下：
svm_degree_2 = SVC(kernel='poly', degree=2)
svm_degree_2.fit(features, labels)
print("[Degree=2] Accuracy=", svm_degree_2.score(features, labels))
svm_degree_4 = SVC(kernel='poly', degree=4)
svm_degree_4.fit(features, labels)
print("[Degree=4] Accuracy=", svm_degree_4.score(features, labels))
当分类器为 2 阶多项式的运行结果：
当分类器为 4 阶多项式的运行结果：
径向基函数（RBF）内核
径向基函数：
- 当变量只有一个时，最简单的径向基函数为 \(y = e^{-x^2}\)，此函数看起来像标准正态分布，函数凸起处为 \(x=0\)
- 当变量有 2 个时，最简单的径向基函数为 \(z = e^{-(x^2 + y^2)}\)，此函数看起来像标准正态分布，函数凸起处为 \((0,0)\)
- 当变量有 \(n\) 个时，基本径向基函数为 \(y = e^{-(x_1^2 + ... + x_n^2)}\)，\(n\) 维凸点以 0 为中心
- 若希望以点 \((p_1, ..., p_n)\) 为中心凸起，则基本径向基函数为 \(y = e^{-[(x_1-p_1)^2 + ... + (x_n-p_n)^2]}\)
- 添加 \(\gamma\) 参数：\(y = e^{-\gamma[(x_1-p_1)^2 + ... + (x_n-p_n)^2]}\)，用于控制拟合程度（形象理解，即调整凸起程度）
- 当 \(\gamma\) 值非常小时，模型会欠拟合
- 当 \(\gamma\) 值非常大时，模型会严重过拟合，合适的 \(\gamma\) 值非常重要
相似度公式：
- 对于点 \(p\) 和点 \(q\)，\(相似度(p,q) = e^{-距离(p,q)^2}\)
- 一维数据集中，点 \(x_1\) 和点 \(x_2\) 的相似度为 \(e^{-(x_1-x_2)^2}\)
- 二维数据集中，点 \(A(x_1, y_1)\) 和点 \(B(x_2, y_2)\) 的相似度为 \(e^{-[(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2]}\)
- 若该数据集有 \(n\) 个数据点，则应计算 \(n^2\) 个相似度；每个点到自身的相似度一定为 1；距离越近，相似度越高
有了相似度公式，就可以定义分类器了。假设数据集有 \(n\) 个数据点 \(X_i\)，每个点对应标签 \(L_i\)（取值为 0 或 1），则对于点 \(X\) 的分类预测如下：
\[\hat{y} = step[\sum^n_{i=1} (-1)^{L_i - 1} \cdot e^{-距离(X, X_i)^2}] \]形象理解：这相当于在一个二维平面上，为标记为 0 的点添加了一个“山谷”，为标记为 1 的点添加了一个“山峰”。对每个点都如此操作，最后使用阈值 0 画出一个“海岸线”，这就是最后的分类边界（boundary）。
代码如下：
svm_gamma_01 = SVC(kernel='rbf', gamma=0.1)
svm_gamma_01.fit(features, labels)
print("[Gamma=0.1] Accuracy=", svm_gamma_01.score(features, labels))
svm_gamma_1 = SVC(kernel='rbf', gamma=1)
svm_gamma_1.fit(features, labels)
print("[Gamma=1] Accuracy=", svm_gamma_1.score(features, labels))
svm_gamma_10 = SVC(kernel='rbf', gamma=10)
svm_gamma_10.fit(features, labels)
print("[Gamma=10] Accuracy=", svm_gamma_10.score(features, labels))
svm_gamma_100 = SVC(kernel='rbf', gamma=100)
svm_gamma_100.fit(features, labels)
print("[Gamma=100] Accuracy=", svm_gamma_100.score(features, labels))
\(\gamma=0.1\) 时的运行结果：
\(\gamma=1\) 时的运行结果：
\(\gamma=10\) 时的运行结果：
\(\gamma=100\) 时的运行结果：
