标签：varepsilon 电磁场 frac cdot 公式 nabla vec partial

矢量分析

梯度和方向倒数

标量场 \(\varphi\) 的梯度为

\[grad\varphi=\nabla \varphi=\vec{e_x}\frac{\partial \varphi}{\partial x}+\vec{e_y}\frac{\partial \varphi}{\partial y}+\vec{e_z}\frac{\partial \varphi}{\partial z} \]

标量场在 \(\vec{l}\) 方向上（单位矢量为 \(\vec{l^\circ}\)）的方向导数为

\[\frac{\partial \varphi}{\partial l}=\nabla \varphi \cdot \vec{l^\circ} \]

散度

\[div\vec{A}=\nabla \cdot \vec{A} \]

散度定理

\[\int_V\nabla\cdot\vec{A}~dV=\oint_S\vec{A}\cdot d\vec{S} \]

旋度

\[rot\vec{A}=\nabla\times\vec{A} \]

斯托克斯定理

\[\int_S(\nabla\times\vec{A})\cdot d\vec{S}=\oint_l\vec{A}\cdot d\vec{l} \]

哈密尔顿微分算符

直角坐标系

\[\nabla=\vec{e_x}\frac{\partial}{\partial x}+\vec{e_y}\frac{\partial}{\partial y}+\vec{e_z}\frac{\partial}{\partial z} \]

圆柱坐标系

\[\nabla=\vec{e_r}\frac{\partial}{\partial r}+\vec{e_\phi}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \phi}+\vec{e_z}\frac{\partial}{\partial z} \]

球面坐标系

\[\nabla=\vec{e_r}\frac{\partial}{\partial r}+\vec{e_\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}+\vec{e_\phi}\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \phi} \]

拉普拉斯微分算子

直角坐标系

\[\nabla^2\varphi=\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2} \]

圆柱坐标系

\[\nabla^2\varphi=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial\varphi}{\partial r})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial \varphi^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2} \]

球面坐标系

\[\nabla^2\varphi=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial\varphi}{\partial r})+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(\sin\theta\frac{\partial\varphi}{\partial \theta})+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2\varphi}{\partial \phi^2} \]

静电场

库仑定律

点电荷 \(q'\) 位于 \(\vec{r'}\)；点电荷 \(q\) 位于 \(\vec{r}\)；点电荷 \(q'\) 到点电荷 \(q\) 为 \(\vec{R}=\vec{r}-\vec{r'}\)。\(q'\) 对 \(q\) 的库仑力为

\[\vec{F}=\frac{q'q}{4\pi \varepsilon_0}\frac{\vec{R}}{R^3} \]

电场强度

位于 \(\vec{r'}\) 的点电荷 \(q'\) 在 \(\vec{r}\) 处产生的电场强度为

\[\vec{E}=\frac{q'}{4\pi \varepsilon_0}\frac{\vec{R}}{R^3} \]

高斯定理

闭合曲面 \(S\) 包含的总电荷为 \(Q\)，则该闭合曲面的通量为

\[\oint_S\vec{E} \cdot d\vec{S}=\frac{Q}{\varepsilon_0} \]

微分形式（电场强度的散度）

\[\begin{split} \nabla \cdot \vec{E}&=\frac{\rho}{\varepsilon_0} \\ \oint_S\vec{E}\cdot d\vec{S}&=\frac{q}{\varepsilon_0} \end{split} \]

电场强度的旋度

\[\begin{split} \nabla\times\vec{E}&=\vec{0} \\ \oint_l\vec{E}\cdot d\vec{l}&=0 \end{split} \]

静电场的电位

电场强度与电位的关系

\[\vec{E}=-\nabla\varphi \]

位于 \(\vec{r'}\) 的点电荷 \(q'\) 在 \(\vec{r}\) 处的电位为

\[\varphi(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q'}{|\vec{r}-\vec{r'}|} \]

静电场中两点间的电位差为

\[\varphi(P)-\varphi(P_0)=\int_P^{P_0}\vec{E}\cdot d\vec{l} \]

泊松方程

\[\nabla^2\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon_0} \]

电偶极子

两个等量异种电荷 \(-q\) 和 \(q\)，负电荷到正电荷的有向距离为 \(\vec{l}\)，则电偶极矩为

\[\vec{p}=q\vec{l} \]

取电偶极矩的中心在坐标原点，

\[\varphi=\frac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{4\pi\varepsilon_0r^3} \]

\[\vec{E}=\frac{p}{4\pi\varepsilon_0r^3}(\vec{e_r}2\cos\theta+\vec{e_\theta}\sin\theta) \]

电介质（绝缘体）的极化强度

体积 \(\Delta V\) 里电偶极矩之和为 \(\sum{\vec{p}}\)，则极化强度为

\[\vec{P}=\lim_{\Delta V \to 0}\frac{\sum{p}}{\Delta V} \]

极化介质产生的极化电荷可以看作等效体电荷和等效面电荷，分别为

\[\rho_p(\vec{r})=-\nabla\cdot\vec{P(\vec{r})} \]

\[\rho_{sp}=\vec{P}(\vec{r})\cdot\vec{n} \]

电位移矢量

在电介质中，电场由自由电荷 \(\rho\) 和极化电荷（束缚电荷） \(\rho_p\) 共同产生。

极化介质中的电场强度为 \(\vec{E}\)，极化强度为 \(\vec{P}\)，则电位移矢量为

\[\vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P} \]

电介质中的场方程

\[\begin{split} \nabla\cdot\vec{D}&=\rho \\ \oint_S\vec{D}\cdot d\vec{S}&=q \\ \nabla\times\vec{E}&=\vec{0} \end{split} \]

电介质的电位

对于均匀介质（\(\varepsilon\) 为常数），

\[\nabla^2\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon} \]

介电常数

若介质是线性各向同性（均匀介质），介质的相对介电常数为 \(\varepsilon_r\)，介质的介电常数为 \(\varepsilon\)，极化率为 \(\chi_e\)。

极化强度为

\[\vec{P}=\varepsilon_0\chi_e\vec{E} \]

电位移矢量为

\[\begin{split} \vec{D}= &=\varepsilon_0(1+\chi_e)\vec{E} \\ &=\varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E} \\ &=\varepsilon\vec{E} \end{split} \]

静电场的边界条件

分界面两侧的介电常数分别为 \(\varepsilon_1\) 和 \(\varepsilon_2\)，分界面的法向量为 \(\vec{n}\)，分界面上的自由电荷密度为 \(\rho_s\)，则边界条件为

\[\begin{split} \vec{n}\cdot(\vec{D}_2-\vec{D}_1)=\rho_s~~~&or~~~D_{2n}-D_{1n}=\rho_s\\ \vec{n}\times(\vec{E}_2-\vec{E}_1)=\vec{0}~~~&or~~~E_{2t}=E_{1t} \end{split} \]

电介质边界的电位

\[\begin{split} &\varphi_1=\varphi_2\\ &\rho_s=-\varepsilon_2\frac{\partial\varphi_2}{\partial n}+\varepsilon_1\frac{\partial\varphi_1}{\partial n} \end{split} \]

介质 \(\varepsilon_1\) 和介质 \(\varepsilon_2\) 中电力线与法线的夹角分别为 \(\theta_1\) 和 \(\theta_2\)，关系为

\[\frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2} \]

对于导体，内部电荷为零，仅考虑外部场 \(\vec{E}\) 和 \(\vec{D}\)，外法线 \(\vec{n}\)，边界条件为

\[\begin{split} D_n&=\rho_s \\ E_t&=0 \end{split} \]

静电场的能量密度和电场能量

能量密度

\[\omega_e=\frac{1}{2}\vec{E}\cdot\vec{D} \]

电场能量

\[W_e=\frac{1}{2}\int_V\vec{E}\cdot\vec{D}~dV \]

恒定电流的电场和磁场

电流密度

正电荷运动的方向为 \(\vec{n}\)，取与 \(\vec{n}\) 垂直的面积元 \(\Delta S\)，通过面积元的电流为 \(\Delta I\)，则电流密度为

\[\vec{J}=\lim_{\Delta S \to 0}\frac{\Delta I}{\Delta S}\vec{n} \]

通过任意面积 \(S\) 的电流强度为

\[I=\int_S\vec{J}\cdot d\vec{S} \]

欧姆定律的微分形式（传导电流）

线性各向同性的导体的电导率为 \(\sigma\)，则电流密度为

\[\vec{J}=\sigma\vec{E} \]

焦耳定律的微分形式（传导电流）

导体内的热功率密度为

\[p=\vec{J}\cdot\vec{E} \]

恒定电流场的基本方程

\[\begin{split} \nabla\cdot\vec{J}&=0\\ \oint_S\vec{J}\cdot d\vec{S}&=0\\ \nabla\times\vec{E}&=\vec{0}\\ \oint_l\vec{E}\cdot d\vec{l}&=0 \end{split} \]

均匀导体（电导率为常数）内部电荷动态为零，则

\[\begin{split} \nabla\cdot\vec{E}&=0\\ \nabla^2\varphi&=0 \end{split} \]

恒定电流场的边界条件

分界面两侧的电导率分别为 \(\sigma_1\) 和 \(\sigma_2\)，分界面的法向量为 \(\vec{n}\)，分界面上的自由电荷密度为 \(\rho_s\)，则边界条件为

\[\begin{split} \vec{n}\cdot(\vec{J}_2-\vec{J}_1)&=0~~~or~~~ J_{1n}=J_{2n}\\ \vec{n}\times(\vec{E}_2-\vec{E}_1)&=\vec{0}~~~or~~~E_{1t}=E_{2t}\\ \end{split} \]

导体边界的电位

\[\begin{split} \varphi_1&=\varphi_2\\ \sigma_1\frac{\partial\varphi_1}{\partial n}&=\sigma_2\frac{\partial\varphi_2}{\partial n} \end{split} \]

介质 \(\sigma_1\) 和介质 \(\sigma_2\) 中电流线与法线的夹角分别为 \(\theta_1\) 和 \(\theta_2\)，关系为

\[\frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\frac{\sigma_1}{\sigma_2} \]

导体内部的电荷为零，电荷只能分布在表面上（\(J_{1n}=J_{2n}=J_n\)）：

\[\rho_s=D_{2n}-D_{1n}=\frac{\varepsilon_2}{\sigma_2}J_{2n}-\frac{\varepsilon_1}{\sigma_1}J_{1n}=J_n(\frac{\varepsilon_2}{\sigma_2}-\frac{\varepsilon_1}{\sigma_1}) \]

磁感应强度

\[\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_C\frac{Id\vec{l}\times\vec{R}}{R^3} \]

磁感应强度与矢量磁位的关系

\[\vec{B}=\nabla\times\vec{A} \]

恒定磁场的基本方程

\[\begin{cases} \nabla\cdot\vec{B}=0 \\ \oint_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=0 \end{cases} \]

\[\begin{cases} \nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J} \\ \oint_C\vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_0I \end{cases} \]

磁偶极子

一个载流回路的面积为 \(\vec{S}\)，电流为 \(I\)，则磁偶极矩为

\[\vec{m}=I\vec{S} \]

矢量磁位为

\[\vec{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\vec{m}\times\vec{r}}{r^3} \]

球面坐标系下的磁感应强度

\[\vec{B}=\frac{\mu_0m}{4\pi r^3}(\vec{e}_r2\cos\theta+\vec{e}_\theta\sin\theta) \]

磁介质的磁化强度

体积为 \(\Delta V\) 的磁介质中，总的磁偶极矩为 \(\sum\vec{m}\)，则磁化强度为

\[\vec{M}=\lim_{\Delta V \to 0}\frac{\sum\vec{m}}{\Delta V} \]

介质磁化产生的磁化电流由体电流和面电流组成，为

\[\begin{split} &\vec{J}_m=\nabla\times\vec{M} \\ &\vec{J}_{mS}=\vec{M}\cdot\vec{n} \end{split} \]

磁场强度

\[\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M} \]

磁导率

若介质是线性各向同性（均匀介质），介质的相对磁导率为 \(\mu_r\)，介质的磁导率为 \(\mu\)，极化率为 \(\chi_m\)。

磁化强度为

\[\vec{M}=\chi_m\vec{H} \]

磁感应强度为

\[\begin{split} \vec{B}&=\mu_0(\vec{H}+\vec{M})\\ &=\mu_0(1+\chi_m)\vec{H}\\ &=\mu_0\mu_r\vec{H}\\ &=\mu\vec{H} \end{split} \]

磁介质中恒定磁场的基本方程

\[\begin{cases} \nabla\cdot\vec{B}=0\\ \oint_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=0 \end{cases} \]

\[\begin{cases} \nabla\times\vec{H}=\vec{J}\\ \oint_C\vec{H}\cdot d\vec{l}=\int_S\vec{J}\cdot d\vec{S} \end{cases} \]

恒定磁场的边界条件

分界面两侧的磁导率分别为 \(\mu_1\) 和 \(\mu_2\)，分界面的法向量为 \(\vec{n}\)，分界面上的电流密度为 \(\vec{J}_S\)，则边界条件为

\[\begin{split} \vec{n}\cdot(\vec{B}_2-\vec{B}_1)=0~~~&or~~~B_{2n}=B_{1n}\\ \vec{n}\times(\vec{H}_2-\vec{H}_1)=\vec{J}_S~~~&or~~~H_{2t}-H_{1t}=J_S \end{split} \]

介质 \(\mu_1\) 和介质 \(\mu_2\) 中磁力线与法线的夹角分别为 \(\theta_1\) 和 \(\theta_2\)，关系为

\[\frac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\frac{\mu_1}{\mu_2} \]

磁场能量密度和磁场能量

磁场能量密度

\[\omega_m=\frac{1}{2}\vec{B}\cdot\vec{H} \]

磁场能量

\[W_m=\frac{1}{2}\int_V\vec{B}\cdot\vec{H} dV \]

时变电磁场

麦克斯韦方程组

全电流定律

\[\nabla\times\vec{H}=\vec{J}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t} \]

法拉第电磁感应定律

\[\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} \]

磁通连续性原理

\[\nabla\cdot\vec{B}=0 \]

高斯定理

\[\nabla\cdot\vec{D}=\rho \]

电流连续性方程

\[\nabla\cdot\vec{J}=-\frac{\partial\rho}{\partial t} \]

时变电磁场的边界条件

一般情况，

电位移矢量

\[\vec{n}\cdot(\vec{D}_2-\vec{D}_1)=\rho_S~~~or~~~D_{2n}-D_{1n}=\rho_S \]

若分界面没有自由面电荷，则分界面两侧的电位移矢量的法向分量连续，电场强度的法向分量不连续。

\[\begin{split} D_{1n}&=D_{2n} \\ \varepsilon_1E_{1n}&=\varepsilon_2E_{2n} \end{split} \]

磁感应强度

\[\vec{n}\cdot(\vec{B}_2-\vec{B}_1)=0~~~or~~~B_{1n}=B_{2n} \]

分界面两侧的磁感应强度的法向分量连续，磁场强度的法向分量不连续。

\[\mu_1H_{1n}=\mu_2H_{2n} \]

磁场强度

\[\vec{n}\times(\vec{H}_2-\vec{H}_1)=\vec{J_S}~~~or~~~H_{2t}-H_{1t}=J_S \]

若分界面没有自由面电流，则分界面两侧的磁场强度的切向分量连续，磁感应强度的切向分量不连续。

\[\begin{split} H_{1t}&=H_{2t}\\ \frac{B_{1t}}{\mu_1}&=\frac{B_{2t}}{\mu_2} \end{split} \]

电场强度

\[\vec{n}\times(\vec{E}_2-\vec{E}_1)=\vec{0}~~~or~~~E_{1t}=E_{2t} \]

分界面两侧的电场强度的切向分量连续，电位移矢量的切向分量不连续。

\[\frac{D_{1t}}{\varepsilon_1}=\frac{D_{2t}}{\varepsilon_2} \]

自由面电流密度和自由面电荷密度：

\[\nabla_t\cdot\vec{J}_S+(J_{1n}-J_{2n})=-\frac{\partial\rho_S}{\partial t} \]

\(\nabla_t\) 表示对与分界面平行的坐标量求微分（存疑）

理想介质（\(\sigma=0\)）
在两种理想介质的分界面上，没有自由面电流和自由面电荷，即 \(\vec{J}=\vec{0}\)，\(\rho_S=0\)。边界条件为：

\[\begin{split} \vec{n}\times(\vec{H}_2-\vec{H}_1)&=\vec{0}\\ \vec{n}\times(\vec{E}_2-\vec{E}_1)&=\vec{0}\\ \vec{n}\cdot(\vec{B}_2-\vec{B}_1)&=0\\ \vec{n}\cdot(\vec{D}_2-\vec{D}_1)&=0 \end{split} \]

理想导体（\(\sigma=\infty\)）
理想导体内部不存在电场和磁场。电力线垂直于理想导体表面，磁力线平行于理想导体表面。边界条件为：

\[\begin{split} \vec{n}\times\vec{H}&=\vec{J}_S\\ \vec{n}\times\vec{E}&=\vec{0}\\ \vec{n}\cdot\vec{B}&=0\\ \vec{n}\cdot\vec{D}&=\rho_S \end{split} \]

坡印廷定理

坡印廷矢量

\[\vec{S}=\vec{E}\times\vec{H} \]

坡印廷定理

\[-\oint_S\vec{S}\cdot d\vec{S}=\frac{\partial}{\partial t}\int_V(\omega_e+\omega_m)dV+\int_V\vec{J}\cdot\vec{E}~dV \]

右式第一项表示体积 \(V\) 中电磁能量随时间的增加率，第二项表示体积 \(V\) 中热损耗功率。

正弦电磁场

复振幅（仅是空间坐标的函数，与时间无关）

\[\dot{E}_{xm}=E_{xm}e^{j\phi_x} \]

复振幅矢量（仅是空间坐标的函数，与时间无关）

\[\vec{\dot{E}}=\vec{e}_x\dot{E}_{xm}+\vec{e}_y\dot{E}_{ym}+\vec{e}_z\dot{E}_{zm} \]

\(\leftrightarrow\)： 瞬时值与复振幅矢量的对应关系。复振幅矢量乘以 \(e^{j\omega t}\)，并取实部，得到瞬时值。

\[\begin{split} E_x(x,y,z,t) &\leftrightarrow \dot{E}_{xm}(x,y,z) \\ \frac{\partial E_x(x,y,z,t)}{\partial t} &\leftrightarrow j\omega \dot{E}_{xm}(x,y,z) \\ \vec{E}(x,y,z,t) \leftrightarrow \vec{\dot{E}}(x,y,z)&=\vec{e}_x\dot{E}_{xm}+\vec{e}_y\dot{E}_{ym}+\vec{e}_z\dot{E}_{zm} \end{split} \]

麦克斯韦方程组的复数形式

全电流定律

\[\nabla\times\vec{\dot{H}}=\vec{\dot{J}}+j\omega \vec{\dot{D}} \]

法拉第电磁感应定律

\[\nabla\times\vec{\dot{E}}=-j\omega \vec{\dot{B}} \]

磁通连续性原理

\[\nabla\cdot\vec{\dot{B}}=0 \]

高斯定理

\[\nabla\cdot\vec{\dot{D}}=\dot{\rho} \]

电流连续性方程

\[\nabla\cdot\vec{\dot{J}}=-j\omega \dot{\rho} \]

约定：剩余表示复量的 \(\cdot\)

复坡印廷矢量

复坡印廷矢量与时间无关，所以取实部不需要乘 \(e^{j\omega t}\)。

瞬时值