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广义Stokes公式

时间:2024-06-03 18:55:25浏览次数:22  
标签:Stokes partial int 公式 广义 frac mathrm

这只是一篇对于我当前对Stokes的理解和简单应用,可以说甚至只是对于我所学到的Green公式、Gauss公式和Stokes公式的概括总结。可能会与实际的广义Stokes公式有许多出入。

目录

前置

首先要给出楔积的概念。
楔积是对微分量的外积。表示为 \(\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y\)
与外积的性质类似地,有 \(\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y= -\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}x\) 原因是楔积的方向性,不多赘述。
我们一般在记积分运算的时候写的 \(\mathrm{d}x\mathrm{d}y\) 其实是省去了楔积符号的,实质上就是 \(\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y\)。也就是说,这里的 \(x,y\) 顺序也是不能反的。

论证

想要具体理解可以参考这篇文章:Stokes定理八讲——第1讲 微分外乘积(楔积)的反交换律 by 来自虚空的Xetta
这里只做一个简单的举例论证:
我们在学习二重积分的计算的时候学过对微分量的变换,这部分的具体证明在此就不列出了,只利用结论

\[J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}= \begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{vmatrix} \neq 0\\ \iint_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint_{D'}f[x(u,v),y(u,v)]|J|\mathrm{d}u\mathrm{d}v \]

第二行式子的 \(|J|\) 表示对于面积变换的方向性的统一(就好比 \(\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=-\int_b^af(x)\mathrm{d}x\)),而实际上如果把面积也变得有向来考虑,则绝对值符号消失。(就好比考虑上线段的有向性)。
那么代入 \(u=y,v=x\) 可以求出 \(J=-1\) ,所以互换前后的楔积要取相反数。
一点延伸拓展日后补充。

另一个需要记住的结论是 \(\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}x = 0\) ,很好理解,类比外积,同向外积为0。

形式

广义Stokes公式的形式如下:

\[\int_{\partial D}f = \int_D \mathrm{d}f \]

其中,\(\partial D\) 表示 \(n\) 维空间 \(D\) 的正向边界。
改公式成立当且仅当 \(f\) 在 \(D\) 上可微。

应用

广义Stokes公式在不同维度数的应用就对应了我们最近学到的几个公式。
下列公式在证明时均取最简单的连续空间为例,具体细节我没能力,在此也没必要认真讨论。

Newton-Leibniz公式

如果 \(D\) 是一维空间,那么 \(\partial D\)就是它的端点。设 \(D=[a,b]\)

\[\int_{\partial D}F = \int_D \mathrm{d}F\\ F(b)-F(a)=\int_a^b\mathrm{d}F = \int_a^bf\mathrm{d}x \]

这就是Newton-Leibniz公式的标准形式。

Green公式

如果 \(D\) 是二维空间,那么 \(\partial D\)就是它的正向(通常逆时针)周曲线。
这里,我们取 \(f=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y\)

\[\int_{\partial D}f = \int_D \mathrm{d}f\\ \oint_{\partial D}(P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y) = \iint_D \mathrm{d}(P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y)\\ \]

其中,

\[\begin{aligned} \mathrm{d}(P\mathrm{d}x)&=\mathrm{d}P\mathrm{d}x+P\mathrm{d}(\mathrm{d}x)\\ &=(\frac{\partial P}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{d}y)\wedge\mathrm{d}x\\ &=\frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}x\\ &=-\frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y \end{aligned} \]

同理有

\[\mathrm{d}(Q\mathrm{d}y) = \frac{\partial Q}{\partial x}\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y \]

所以有

\[\begin{aligned} \oint_{\partial D}(P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y) &= \iint_D \mathrm{d}(P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y)\\ &=\iint_D-\frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y+\frac{\partial Q}{\partial x}\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y\\ &=\iint_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{aligned} \]

这就是Green公式的标准形式

Gauss公式

如果 \(D\) 是三维空间,那么 \(\partial D\)就是它的正向(通常外)包围面。
取 \(f=P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)

\[\int_{\partial D}f = \int_D \mathrm{d}f\\ \oiint_{\partial D}(P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y) = \iiint_D \mathrm{d}(P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y)\\ \]

我们类似地对每一项微分,略过二阶微分量忽略以及楔积基本性质的应用了,直接上结论。

\[\mathrm{d}(P\mathrm{d}y\mathrm{d}z) = \frac{\partial P}{\partial x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\\ \mathrm{d}(Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x) = \frac{\partial Q}{\partial y}\mathrm{d}y\mathrm{d}z\mathrm{d}x\\ \mathrm{d}(R\mathrm{d}x\mathrm{d}y) = \frac{\partial R}{\partial z}\mathrm{d}z\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ \]

反复应用楔积基本性质不难发现

\[\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \mathrm{d}y\mathrm{d}z\mathrm{d}x = \mathrm{d}z\mathrm{d}x\mathrm{d}y \]

所以有

\[\begin{aligned} \oiint_{\partial D}(P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y) &= \iiint_D \mathrm{d}(P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y)\\ &=\iiint_D (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z \end{aligned} \]

这就是Gauss公式的标准形式

Stokes公式

Stokes公式是三维空间曲面情况下的应用。此时 \(\partial D\)是该空间曲面的正向边界。
取 \(f=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z\)
处理方法和前面完全一样,这里不再重复

\[\begin{aligned} &\int_{\partial D}f = \int_D \mathrm{d}f\\ &\oint_{\partial D}(P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z) = \int_D \mathrm{d}(P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z)\\ &=\int_D \frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{d}y\mathrm{d}x+ \frac{\partial P}{\partial z}\mathrm{d}z\mathrm{d}x+ \frac{\partial Q}{\partial x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y+ \frac{\partial Q}{\partial z}\mathrm{d}z\mathrm{d}y+ \frac{\partial R}{\partial x}\mathrm{d}x\mathrm{d}z+ \frac{\partial R}{\partial y}\mathrm{d}y\mathrm{d}z\\ &=\int_D (\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})\mathrm{d}y\mathrm{d}z+ (\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})\mathrm{d}z\mathrm{d}x+ (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{aligned} \]

这就是Stokes公式的标准形式。

题外话——场论

这部分内容可能跟标题没啥关系了,只是对我们学到的场论内容进行一个简要的概括。
梯度想必已不必多说了,就是微分的向量化表达。
散度 \(\nabla \cdot \vec F\) ,对应的就是对于 \(nabla\) 算子的内积,即微分矢量场上的内积运算。
旋度 \(\nabla \times \vec F\) ,对应的就是对于 \(nabla\) 算子的外积,即微分矢量场上的外积运算。
看着挺无聊的,至少就目前而言,很难把散度与旋度具体化地认知,可能唯一的关联就是物理静电场里的高斯定理了。(打个广告,可以参考我的这篇文章
但是可以确定的一点是,这两个量和梯度是场论的基石,我想我们以后还会再遇到它们的。
那么对于它们的更加清晰的认知就留给以后,现在只要记得它们的长相就行,一个对应Gauss公式的形式,一个对应Stokes公式的形式。
Over

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