目前的计划是把当前正在学习的东西先写着，然后有机会再补前面缺的(×
概念
所以我们为什么要研究气体动理论
从我的视角而言，气体动理论是我第一次接触统计物理学，它将微观的物理运动规律与宏观上的物理现象统计结合起来，实现了对许多基于微观运动积累而产生的宏观物理现象的合理解释，并同时对许多物理规律的推导起到了指示性作用。
统计物理学的根本是大量统计，比较规律。因此，对单一微观粒子的讨论是没有意义的。
除去这些比较大的概念，单就目前学习的状况来看，气体动理论对于 后续热力学基础公式的推导以及论证都有着重要作用，可以说虽然后续只需要记住结论，但是研究清楚这些结论背后的原理是很有必要的，至少对于大学物理，我们需要这样的知根知底的严谨性。
气体动理论构建的理想气体微观模型需要遵从以下五点
.....
- 分子本身大小忽略不计
- 除碰撞外，分子间相互作用忽略不计
- 分子所受重力忽略不计
- 分子间、分子与器壁间的碰撞是弹性碰撞
- 分子运动遵从经典力学规律
为了使之与实际情况较好地吻合，需要保证压强不太大（第一二点）以及温度不太低（第三点）
你就记不到？
这部分用于我这个铸币天天忘记公式里各个符号表达的物理意义。
\(\mu,\nu\) 表示物质的量（我总觉得是老师没分清这两个符号，应该只有 \(\nu\) 表示这个物理意义，但是 \(mu\) 和 \(nu\) 实在有点相近，而 \(\mu\) 主要意思应该还是摩擦系数吧，我觉得）
物质的量有公式 \(\nu=\frac{m}{M}\)，\(m\) 表示质量，\(M\) 表示气体摩尔质量。
实验规律总结公式
\[PV = \nu RT\\ P = nkT\\ R = N_A k \]式中 \(R,k,N_A\) 都是实验测得值。
\(R\) 是摩尔气体常量，取值 \(R=8.31J\cdot mol^{-1}\cdot k^{-1}\)
\(k\) 是玻尔兹曼常量，取值 \(k=1.38\times 10^{-23}J\cdot k^{-1}\)
\(N_A\) 是阿伏伽德罗常量，取值 \(N_A=6.022\times 10^{23}mol^{-1}\)
注：参考PPT的R单位疑似有误，此处采用的是更改后版本。
\(n\) 是分子数密度，显然有等式 \(nV=N_A\nu\)成立，等式左右两边均表示分子总数。
从理想气体的压强开始的推导之旅
我们将不同运动状态的分子分组使得每组组内分子的速度矢量相等，得到每组的分子数密度为\(n_i\)。
有等式 \(n=\sum_i n_i\)成立
考虑到在热平衡的状态下，分子运动的统计规律在各方向相等，也就是说，各方向的压强是相同的。为了方便计算运动状态，我们正交地将分子的运动分解成 \(xyz\) 三个轴向的运动。并分别讨论在分解后的三个方向上的压强。
首先讨论 \(x\) 方向。
首先取一块面积为 \(dA\) 的垂直于 \(x\)
轴的光滑器壁，计算其上的压强。
假设第 \(i\) 组分子的速度为 \(\vec{v_i}=(v_{ix},v_{iy},v_{iz})\)
所以碰撞前后分子的速度分别为
\((v_{ix},v_{iy},v_{iz})\\(-v_{ix},v_{iy},v_{iz})\)
不难得出一次碰撞前后的动量差 \(\Delta P_i=-2mv_{ix}\) ，从而得出分子施加在 \(dA\) 上的冲量为 \(\Delta I_i=2mv_{ix}\)
将这个结论放到 \(dt\) 的时间内进行讨论，在 \(dt\) 的时间内，有体积为 \(v_{ix}dAdt\) 的分子发生碰撞，分子数为 \(n_iv_{ix}dtdA\)，产生的冲量为 \(dI_i = 2mn_iv_{ix}^2dtdA\)
因此，所有分子的冲量和为
由于仅 \(v_{ix}>0\) 的分子会发生碰撞，在热平衡的情况下各方向概率相等，所以 \(v_{ix}>0,v_{ix}<0\) 各占一半，因此
\[dI=\frac{1}{2}\sum_i 2mn_iv_{ix}^2dtdA=\sum_i mn_iv_{ix}^2dtdA \]又根据冲量的定义 \(dI = Fdt\) 和压强公式 \(P=\frac{F}{dA}\)，可得
\[\begin{aligned} P&=\frac{dI}{dtdA}=\sum_imn_iv_{ix}^2=m\sum_in_iv_{ix}^2\cdot \frac{nV}{nv}\\ &=\frac{nm\sum_in_iVv_{ix}^2}{nV}\\ \because \overline{v_x^2}&=\frac{\sum_in_iVv_{ix}^2}{nV}\\ \therefore P&=nm\overline{v_x^2} \end{aligned} \]由于前面得出的结论，各个方向上的压强是相等的，因此可以得到
\[P=nm\overline{v_x^2}=nm\overline{v_y^2}=nm\overline{v_z^2} \]将此处 \(P\) 的三种表达方式相加就可以得到
\[\begin{aligned} 3P&=nm(\overline{v_x^2}+\overline{v_y^2}+\overline{v_z^2})\\ &=nm\overline{(v_x^2+v_y^2+v_z^2)}\\ &=nm\overline{v^2}\\ \therefore P&=\frac{1}{3}nm\overline{v^2} \end{aligned} \]引入参量分子平均平动动能 \(\overline{\varepsilon_t}=\frac 1 2m\overline{v^2}\) 就可以得到等式
\[P=\frac 2 3n\overline{\varepsilon_t} \]其中 \(P\) 是宏观量而 \(\overline{\varepsilon_t},n\) 是微观量，这个等式将宏观量与微观量联系起来了。也说明了，压强的产生是大量分子不断与器壁碰撞的结果，是一种宏观统计平均值吗，讨论单一分子的压强没有意义。
又由最早给出的基于实验的公式 \(P=nkT\) ，可以得出另一宏观量温度 \(T\) 与微观量的关系
这一等式说明理想气体温度只与分子平均平动动能有关。温度 \(T\) 是一个宏观的统计平均值，讨论单一分子的温度也是没有意义的。
接下来引入方均根速率这一统计平均值，即 \(\sqrt{\overline{v^2}}\)
由 \(\overline{\varepsilon_t}=\frac 1 2m\overline{v^2}\) 和 \(\overline{\varepsilon_t}=\frac 3 2 kT\) 可推得 \(\overline{v^2}=\frac{3kT} m\)
因此方均根速率 \(\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3kT}m}\)
因为 \(R=kN_A\) 而 \(m=MN_A\)
所以可得 \(\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3RT}M}=1.73\sqrt{\frac{RT}M}\)
方均根计算和后面平均速率的计算会在后面麦克斯韦速率分布律再见的。
注：参考PPT在推导结论处等式中疑似有一个符号有误，此处采用更正版本。
麦克斯韦速率分布律
首先明确分布函数的意义：
\[f(x)=\frac{dN}{Ndx} \]表示的是分布在 \(x\) 附近的单位坐标区间内的个体数占总数的比例。
显然要符合两件事，即
下面直接给出麦克斯韦速率分布律表达式
\[\frac{dN}{N}=f(v)\cdot dv=4\pi(\frac m {2\pi kT})^{\frac 3 2}\cdot e^{-\frac{mv^2}{2kT}}\cdot v^2\cdot dv\\ f(v)=4\pi(\frac m {2\pi kT})^{\frac 3 2}\cdot e^{-\frac{mv^2}{2kT}}\cdot v^2 \]此即麦克斯韦速率分布函数，它表示处于温度 \(T\) 的平衡态下的理想气体在 \(v\) 附近的单位速率区间内的分子数占总分子数的比例。其推导过程比较复杂，如果我哪天有能力搞明白的话就单独写一份blog把链接挂这里吧。
整体曲线大致如下（图源自PPT，侵删）
下面运用上式来求最概然速率 \(v_p\) ，平均速率 \(\overline{v}\) ，方均根速率 \(\sqrt{\overline{v^2}}\)
- 求最概然速率 \(v_p\)
- 求平均速率 \(\overline{v}\)
- 求方均根速率 \(\sqrt{\overline{v^2}}\)
这一结论与先前通过分子平均平动动能计算得到的结论相吻合。
比较三者可得 \(v_p<\overline{v}<\sqrt{\overline{v^2}}\)
注：三个积分运算过程被省略了，前两个可以用现阶段知识求得，而方均根速率的积分运算我目前无法自行求得，但是可以借助wolframalpha求解，答案与结论给出的值是一致的。
由这三者的计算思路延伸到对任意与分子速率有关的微观物理量 \(g(v)\) 的统计平均值计算公式，则有
差一小部分内容，稍后补充
能均分定理与理想气体内能
首先，我们引入自由度 \(i\) ，它表示物体在空间的位置所需要的独立坐标数。
什么意思呢？假设现在空间里要确定一个点，那么需要 \(x,y,z\) 三个独立的坐标，于是这个点的自由度就是3。
对于单原子分子来讲，它的自由度就是上述情况。
那如果是一条直线呢？先确定直线上任意一个点的位置，三个坐标，然后再确定直线的方向，可以通过与坐标轴的夹角 \(\theta_x,\theta_y,\theta_z\) 来表示，但是注意此处满足关系式 \(\cos^2\theta_x+\cos^2\theta_y+\cos^2\theta_z=1\) ，因此实际只有两个独立坐标，所以自由度为5。
换一种思路，我们先取定直线上两个点的坐标，但注意到任取两点确定直线存在重复，重复的情况当且仅当这些点均在同一直线上，所以多了一个约束条件（即在这个重叠的直线上），因此，自由度就是3+3-1=5。
对于刚性双原子分子来讲，它的情况相当于在确定的直线上取一段定长线段，那么无论是那种思路都与确定一条直线的自由度一样，为5。而对于非刚性双原子分子，多了一个沿轴振动自由度，即截取线段长度不确定，自由度为5+1=6，对于第二种思路而言，也就是约束不存在，直接就可以得出3+3=6的结论。
第二种思路仅是我的一种想法，它不具备公式化求解的品质。按照第一种思路，我们可以把自由度分为平动自由度 \(t\) ，转动自由度 \(r\) 以及振动自由度 \(s\) 。它们分别确定了分子的位置，转动角度以及分子本身形状。显然，仍和刚体的形状都是固定的，所以刚体的振动自由度 \(s\) 均为0。
现在假设要求一个刚体的自由度，首先可以假设其绕一定轴转动（这并不意味着刚体在进行转动运动，只是在我们敲定下几个点以后，刚体还能进行的活动就是定轴转动，也就是自由度的体现）。那么确定这个轴根据之前的结论需要5个自由度。而刚体转动角度是一个额外自由度，因此刚体的自由度数为6。
对于三原子分子来说，刚性分子自由度就是6，非刚性分子要多出三个振动自由度，总自由度为9。
注：此处非刚性三原子分子的自由度为 \(i=t+r+s=3+3+3=9\) 我目前无法找到对 \(s=3\) 这一结论的合理解释。结论抄的。
在此之上我们引入能均分原理，即能量是按照自由度均分的。
上一集讲到分子平均平动动能是 \(\overline{\varepsilon_t}=\frac 3 2 kT\) ，又有 \(\overline{v_x^2}=\overline{v_y^2}=\overline{v_z^2}=\frac 1 3 \overline{v^2}\) ，因此有
就得到结论：在每个自由度上都有相同的平均平动动能 \(\frac 12kT\)
推广该结论则有：在一定温度 \(T\) 的平衡态下，所有物质的分子在每个自由度上（平动、转动、振动）都有一份相同的平均平动动能，其值为： \(\frac 12kT\)
因此具有 \(i\) 个自由度的分子的总平均动能就是 \(\overline{\varepsilon_k}=\frac i2kT\)
这就是能量均分定理。
注：能量均分定理的体现是统计规律，至少目前我没有理论论证的能力（或许就不存在）。
前面的能均分定理讨论的是分子的平均动能。而理想气体的内能应该包含动能和势能。有
\[\begin{cases} \overline{\varepsilon_k}=\frac{t+r+s}2\\ \overline{\varepsilon_p}=\frac s2kT \end{cases} \]如果把分子总自由度看成是 \(i=t+r+2s\) 则一个分子的平均总内能为
\[E=\frac i2kT=\frac{t+r+2s}2kT \]因此，1摩尔理想气体的内能为 \(E_{N_A}=N_A\cdot\frac i2kT=\frac i2RT\)
\(\nu\) 摩尔理想气体的内能为 \(E=\frac i2\nu RT\)
由这个式子中的参数可知，理想气体内能只取决于分子自由度 \(i\) 和气体温度 \(T\) ，与气体的体积和压强无关。即：理想气体的内能是温度的单值函数。
有一个小结论，由于刚性气体分子的 \(s\) 为0，所以所有刚性气体分子的平均动能与其平均内能相等。
我才知道，原来课程已经推过麦克斯韦速率分布了，将在下篇里写完。
看样子我缺的部分真不是一点两点啊。唉。
写在结尾的一点牢骚
为什么要在一篇笔记一样的博客最后写这么一段毫不相干的文字？就是想而已。或许我自己以后也不会看，但是毕竟这篇花了我不少时间来写，也是我重新开始写的第一篇，不得不说这个过程中我也重新审视了我到底在写什么，为什么写。
回到最开始写对科里奥利力的一些想法，那时候我写那么一篇博客仅仅是因为我当时在那篇博客里提到的二倍关系问题上纠结了很久，所以在好不容易想明白以后希望能把它记录下来。后来发现，当时整个起点就是错的。但是没有关系，至少我现在发现它有问题并且把它修正了。或许如果我当初没有写那么一篇博客，我就没有机会意识到自己长久以来对科里奥利力的认知是有误的，因为它始终是混沌的。
后来写密歇尔斯基也是因为当时和jeep讨论了一个有关链条下落这个模型如何转化看待方式的问题，我觉得很有意思，就记录下来了，实际上在写的时候才发现当时给jeep讲的我的思路并不全对，仔细重新想过一遍以后发现并没有把问题简单化，这种抽象化的看待方式反而弄巧成拙了，但这并不影响思维的锻炼以及对这种抽象化思想的培养。
实话说现在写的这几篇已经是变得越来越像是在抄写PPT了。我其实并不希望是这样的，但是我写起来的时候就发现，我无法避免地会按照PPT来一步一步地写。因为知识体系的构建本就是这样，如果还有别的构建思路那也与我学习的方式不同，我是照着这个PPT学的，老师是照着这个PPT讲的，我没有那个必要非要另起炉灶，毕竟我刚刚学，我自己都不清楚整个的知识体系是何样的。
不得不承认的是，大物学到这个阶段它的难度真的很高，我实在找不到很多能靠个人的思考就与学到的理论接通的案例。所以最后就变成了PPT搬运工。但是，我想这还是比抄写要好些的。至少，在我写下每一个公式的时候，我都会试着自己算一遍，或者自己理解一遍，有问题的地方再查书再借助运算工具。实际上这个过程才是真正重要的。或许我写完后自己也不会再看几回，我写的也大概率不如PPT易于理解，毕竟那是教了很多届学生以后不断优化出来的结果。真正起到作用的，应该是在写的过程中产生的那些思考，重新进行的那些运算与论证。就像读一遍书和抄一遍书一样，它让我能更加深刻地理解这些本就高深的内容。因为博客要写下去，所以我不得不一个一个弄清楚我要写的每一笔，实在弄不清就注明这里有缺陷需要补上，没有跳过的说法，区别与常常因为人天生的惯性而在阅读时打个哈哈，把那些没有搞得很清楚的东西糊弄过去然后视作“我弄明白了”。
我想这才是我写这些或博客或笔记或抄写的文字的意义吧。