前言:
本系列为《线性代数的本质》的笔记,作者为3Blue1Brown大神,视频的b站链接为 https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E/?spm_id_from=333.999.0.0&vd_source=cb7d5dd830bc59a85c459b0b14a2e685
看了这个系列视频后我受益匪浅,为了方便后续回顾所以整理成了文字资料。我强烈建议看到这篇博客的朋友们直接看视频,看完后,你可以把本文当做一种简短的回顾。
《线性代数的本质》主要从线性变换的角度来解释线性代数中的一系列概念,将线性代数的许多运算与空间坐标系中的几何变换联系了起来,为我们提供了理解诸多概念的全新角度。在看这个系列课程之前,我总是认为线性代数和其他数学学科的关系很弱,是一门基本独立的数学学科。然而3b1b告诉我们,线性代数完全可以和几何还有代数联系起来,并且以这种视角来看待线性代数中的许多概念,会比单纯得从向量和矩阵的角度更加直观、易于理解。最开始你可能会觉得作者的描述略显普通,但后续的章节十分精彩,令人击节称叹。
01-向量究竟是什么
物理学:向量是空间中的箭头,长度和方向决定了唯一一个向量; 计算机专业:向量是数字的列表,用于建模一个对象的多个属性 数学家:**向量可以是任何东西,只要保证 相加 和 数乘 有意义即可** 向量:坐标系中的一组数,分别表示沿着坐标轴走多远。 向量相加:把向量看作一种运动,从原点出发,分别移动两次 向量数乘:带方向的缩放 以上两种运算十分关键,在最后一节会解释为什么。02-线性组合·张成的空间和基
本章介绍线性组合和基的概念
二维空间中,基向量:\(\hat{i}\)向量\(\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix}\)和\(\hat{j}\)向量\(\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\)。构成一个坐标的两个标量分别缩放了这两个基向量。
基向量是可以自由选择的,选择一组新的基,通过改变坐标的两个标量(线性组合),也可以表示出空间中全部向量(张成的空间),除非两个向量共线。
张成的空间:可以拓展出来的所有向量的集合
把向量看作空间中的点,二维空间中,两个特定的向量可以张成一个平面;三维向量中,如果第三个向量不与前两个共面,则可以获取整个三维空间。
如果一组向量中,至少有一个是多余的,即没有对张成空间做出贡献,则可以说他们是线性相关的,或者说其中一个可以用其他的向量线性表示。反之,每个向量的加入都增加了张成空间的维度,则可以说他们是线性无关的。
03-矩阵与线性变换
本章是理解后续章节的重要一章,也是我个人认为相当精彩的一章。本章的重点是线性变换的概念。
变换:是一种函数
线性变换:空间中的直线在变换后依旧是直线,原点的位置保持不变。(网格线保持平行并且等距分布)
- 问:如何用数字描述这种线性变换?
- 答:只需关心基向量的变化。假设一次线性变换之后 \(\hat{i}\) 变为\(\begin{pmatrix}1 \\-2\end{pmatrix}\),\(\hat{j}\) 变为\(\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}\),原本为\(\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\)的向量现在变到了新的位置
更为一般的情况,在这个变换过程中,任何空间中的向量,会像这样变化:
一个二维的线性变换完全由四个数字决定(i和j的坐标)。
我们将他们包装成2*2的方块,以此来定义矩阵和向量的乘法。
特例:当变化后的两个基向量线性相关时,空间被挤压成了一条直线。
总结:矩阵是一种对线性变换的描述。