数分习题课整理

第五周

T1 设 \(\{x_n\}_{n = 1}^\infty\) 为有界实数列，\(a = \liminf\limits_{n \to \infty} x_n, b = \limsup \limits_{n \to \infty} x_n\)，满足 \(a < b\) 且 \(\limsup \limits_{n \to \infty} (x_{n + 1} - x_n) = 0\) 或 \(\liminf \limits_{n \to \infty} (x_{n + 1} - x_n) = 0\)，证明：\(\{x_n\}_{n=1}^\infty\) 在 \([a, b]\) 中稠密。

证明：

先证 \(\forall x_0 \in (a, b), \varepsilon > 0\) 使得 \((x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon)\) 中有无限个数列中的点。

如果不然，那么 \(\exist N\) 使得 \(\forall n > N, x_n \notin (x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon)\)。

不妨设 \(\limsup \limits_{n \to \infty} (x_{n + 1} - x_n) = 0\)，可知当 \(n\) 充分大时，\(x_{n + 1} < x_n + \varepsilon\)。

同时存在子列 \(\{x_{n_k}\}_{k = 1}^\infty\) 满足 \(\lim\limits_{k \to \infty} x_{n_k} = a\)，所以 \(\exist k > N\) 使得 \(x_{n_k} < a + \varepsilon < x_0 + \varepsilon\)，而 \((x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon)\) 此时不存在数列中的点，所以 \(x_{n_k} \leq x_0 - \varepsilon\)。

于是 \(x_{n_k + 1} \leq x_0\)，同理可得 \(\forall m \geq n_k, x_m \leq x_0 - \varepsilon < x_0 < b\)，于是 \(\limsup \limits_{n \to \infty} x_n < b\)，矛盾。

再考虑取出子序列满足 \(x_{m_i} \in (x_0 - \frac 1i, x_0 + \frac 1i)\)（此时显然可以实现），那么 \(\lim\limits_{k \to \infty} x_{m_k} = x_0\)。

T2 求证：对于任意有界实数列 \(\{x_n\}_{n = 1}^\infty\)，\(\lim\limits_{n \to \infty} \Delta^2 x_n = 0 \Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty} \Delta x_n = 0\)。

证明：

先证 \(\limsup\limits_{n \to \infty} \Delta x_n \leq 0\)（\(\liminf\limits_{n \to \infty} \Delta x_n \geq 0\) 同理）

若 \(\limsup\limits_{n \to \infty} \Delta x_n > A > 0\)，那么 \(\forall m \in \N, \exist N\) 使得 \(\forall n \geq N, |\Delta x_{n + 1} - \Delta x_n| < \frac Am\)，那么有 \(\Delta x_{n + 1} > \Delta x_n - \frac Am\)。

同时由假设可知 \(\exist p, \Delta x_p > A\)，于是 \(\Delta x_{p + 1} > \Delta x_p - \frac Am > \frac {m - 1} m A\)，归纳可知 \(\Delta x_{p + k} > \frac {m-k}mA\)。

那么 \(x_{p + m} - x_p = \sum_{k = 0}^{m - 1} \Delta x_{p + k} > \frac {m + 1}2A\)，由 \(m\) 的任意性可知 \(\{x_n\}\) 无界，得出矛盾。

T3 \(E \subset \R\)，证明 \(E\) 是无界集 \(\Leftrightarrow\) \(E\) 中含有这样一个序列 \(\{x_n\}_{n = 1}^{\infty}\) 满足 \(\exist \varepsilon > 0, \forall n, m\ (n \neq m)\) 都有 \(|x_n - x_m| \geq \varepsilon\)。

证明：

\(\Rightarrow\)：不妨设 \(E\) 上无界，那么取 \(\varepsilon = 1\)，任取 \(x_1 \in E\)，\(x_2 \in E\) 且 \(x_2 > x_1 + 1\)，\(x_3 \in E\) 且 \(x_3 > x_2 + 1\)，依此类推，可以得到一个无穷序列。

\(\Leftarrow\)：若 \(E\) 有界，则任取一个 \(E\) 中的序列 \(\{x_n\}_{n = 1}^\infty\)，那么一定存在一个收敛的子列 \(\{x_{n_k}\}_{k = 1}^{\infty}\)。因此 \(\forall \varepsilon, \exist M\) 使得 \(\forall k, l > M, |x_{n_k} - x_{n_l}| < \varepsilon\)，导出矛盾。