向量的运算及性质
除非特殊说明，否则以下向量均默认指 \(R^3\) 中的元素。
线性运算
包括加法与数乘。
点积（内积）——垂直与正交
模
设向量 \(\vec{a}=(x,y,z)\)，定义其模（2-范数）为 \(|\vec a| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\)，几何意义为向量所对应的有向线段的长度。
模是度量向量大小的方法，它满足：
- 正定性：\(|\vec a| > 0, |\vec 0|=0\)。
- 正齐次性：\(|\lambda\vec a| = \lambda|\vec a|\)。
- 三角不等式：\(|\vec a + \vec b| \leq |\vec a| + |\vec b|\)。
若数域 \(F\) 上的线性空间 \(V\) 存在满足上述三条性质的映射 \(||\cdot||:V\to F\)，则称 \(V\) 为一个赋范空间。这里不深入讨论。
利用模，我们可以定义向量的单位化：\(\hat a=\frac{\vec a}{|\vec a|},|\hat a|=1\)。
内积
两个向量张成一个平面，它们必然存在一个夹角。
定义两个向量的内积 \(\vec a \cdot \vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)，并定义两个向量的夹角 \(\cos<\vec a, \vec b> =\frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a| |\vec b|}\)。
容易验证这与我们熟知的夹角定义一致。
当 \(\vec a \cdot \vec b=0\) 时，称这两个向量正交。