概率论选题
一、基本概念
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随机现象
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概率
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古典概型
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Newton 二项式定理
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几何概率
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概率空间
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条件概率
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Bayes 公式
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独立性
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伯努利试验
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伯努利分布：只进行一次伯努利试验
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二项分布：\(n\) 重伯努利试验中事件 \(A\) 出现 \(k\) 次的概率 \(b(k;n,p)=\binom nkp^kq^{n-k}\).
- \(E\xi=np,\quad D\xi=npq\).
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几何分布：在伯努利试验中首次成功出现在第 \(k\) 次试验的概率 \(g(k;p)=q^{k-1}p\).
- \(E\xi=\frac{1}{p},\quad D\xi=\frac{q}{p^2}\).
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帕斯卡分布：在伯努利试验中第 \(r\) 次成功发生在第 \(k\) 次试验的概率 \(f(k;r,p)=\binom{k-1}{r-1}p^rq^{k-r}\).
- \(E\xi=\frac{r}{p},\quad D\xi=\frac{rq}{p^2}\).
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随机游动
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泊松分布: \(P\{\xi=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\).
- \(E\xi=\lambda,\quad D\xi=\lambda\)
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泊松过程
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随机变量
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随机变量的分布函数、密度函数
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退化分布 \(P\{\xi=c\}=1\)
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超几何分布：对 \(N\) 件产品进行不放回抽样调查, 若这批产品中有 \(M\) 间次品, 现从整批产品中随机抽出 \(n\) 件产品, 其中的次品数的概率分布为超几何分布.
- \(p_k=\frac{\binom Mk\binom{N-M}{n-k}}{\binom Nn}\);
- \(EX=\frac{nM}{N},\quad DX=\frac{nM}{N}\left(1-\frac MN\right)\cdot\frac{N-n}{N-1}\).
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负二项分布: 对任意 \(0<r\in \R\), 称 \(Nb(l;r,p)=\binom{-r}{l}p^r(-q)^l, \ l=0,1,2,\cdots\) 为负二项分布.
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均匀分布 \(U[a,b]\)
- \(p(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a},&a\le x\le b,\\0,&x<a\ \or x>b\end{cases}\);
- \(F(x)=\begin{cases}0,&x\le a\\ \frac{x-a}{b-a},& a<x\le b\\1,&x>b\end{cases}\);
- \(E\xi=\frac{a+b}{2},\quad D\xi=-\frac{(b-a)^2}{12}\).
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正态分布 \(N(\mu,\sigma^2)\)
- \(p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}, \quad x\in\R\);
- \(E\xi=\mu,\quad D\xi=\sigma^2\).
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指数分布 \(Exp(\lambda)\)
- \(p(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x\ge0\\0,&x<0\end{cases}\);
- \(F(x)=\begin{cases}1-e^{-\lambda x},&x\ge0\\0,&x<0\end{cases}\);
- \(E\xi=\frac{1}{\lambda},\quad D\xi=\frac{1}{\lambda^2}\).
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\(n\) 元正态分布 \(N(\pmb{\mu},\pmb{\Sigma})\)
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\(p(\pmb{x})=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}(\det\pmb{\Sigma})^{1/2}}\exp\{-\frac12(\pmb{x}-\pmb\mu)\pmb\Sigma^{-1}(\pmb x-\pmb\mu)^T\}\);
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二元正态分布 \(N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)\)
\[p(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma^2}-2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right]\right\} \]
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卷积
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对数正态分布：\(\ln\xi\) 服从正态分布
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卡方分布 \(\chi^2_n\)
- \(p(x)=\frac{1}{2^{n/2}\Gamma(\frac n2)}x^{\frac n2-1}e^{-\frac x2},\quad x>0\);
- \(EX=n,\quad DX=2n\).
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\(F\) 分布：两独立卡方分布变量除以自由度的商
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\(\Gamma\) 分布 \(\Gamma(r,\lambda)\)：\(p(x)=\frac{\lambda^r}{\Gamma(r)}x^{r-1}e^{-\lambda x}\)
- \(EX=\frac{r}{\lambda},\quad DX=\frac{r}{\lambda^2}\).
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贝特朗奇论：单位圆内随机取一条弦, 问其长超过该圆内接等边三角形边长的概率.
- 三种解法的随机变量服从不同的均匀分布假定
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数学期望
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方差
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切比雪夫不等式
\[P\{|\xi-E\xi|\ge\varepsilon\}\le\frac{D\xi}{\varepsilon^2} \] -
协方差
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相关系数
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Cauchy-Schwarz 不等式 \(|E\xi\eta|^2\le E\xi^2\cdot E\eta^2\).
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\(\xi,\eta\) 独立 \(\Rightarrow \xi,\eta\) 不相关 \(\Leftrightarrow cov(\xi,\eta)=0\Leftrightarrow E\xi\eta=E\xi\cdot E\eta \Leftrightarrow D(\xi+\eta)=D\xi+D\eta\).
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矩 (原点矩/中心矩)
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分位数
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熵
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母函数 \(Es^{\xi}\)
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特征函数 \(Ee^{it\xi}\)
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大数定律
- 切比雪夫大数定律
- 方差有公共上界
- 马尔可夫大数定律
- 均值的方差趋于0
- 伯努利大数定律
- 重复的伯努利试验次数足够多, 则频率与概率将无限接近
- 泊松大数定律
- 试验次数充分大时, 事件出现的频率稳定于概率的算术平均值附近
- 辛钦大数定律
- 当 \(n\) 充分大, 独立同分布的随机变量序列的算术平均值逼近期望
- 切比雪夫大数定律
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中心极限定理
- 独立同分布的随机变量的标准化随机变量之和的极限分布为正态分布.
二、计算题
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求参加某次集会的 \(n\) 个人至少有两个人生日相同的概率 (设一年365天).
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从 \(n\) 双不同的鞋子中任取 \(2r\ (2r<n)\) 只, 求下列事件发生的概率:
(1) 没有成对的鞋子; (2) 只有一对鞋子; (3) 恰有两对鞋子; (4) 有 \(r\) 对鞋子. -
\(m\) 个男孩和 \(n\) 个女孩 \((n\le m)\) 随机沿圆桌坐下, 求任意两个女孩都不相邻的概率.
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从装有号码 \(1,2,\cdots,N\) 的球的箱子中有放回地摸了 \(n\) 次球, 依次记下其号码, 求这些号码按上升(不一定严格)次序排列的概率.
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任意从数列 \(1,2,\cdots,N\) 中有放回地取出 \(n\) 个数并按大小排列成: \(x_1\le x_2\le\cdots\le x_m\le\cdots\le x_n\), 求 \(x_m=M\) 的概率.
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在一张方格纸上投直径为 \(1\) 的硬币, 方格边长为 \(a\), 求硬币与方格线不相交的概率.
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某班有 \(N\) 个士兵, 每人各有一支枪, 这些枪外形完全一样, 在一次夜间紧急集合中, 若每人随机地取走一支枪, 问恰好有 \(k \ (0\le k\le N)\) 个人拿到自己的枪的概率.
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食品厂把印有水浒 \(108\) 将之一的画卡作为赠券装入某种儿童食品袋中, 每袋一卡, 试求购买 \(n\) 袋这种食品而能收齐全套画卡的概率.
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在伯努利试验中, 事件 \(A\) 出现的概率为 \(p\) , 求在 \(n\) 次独立试验中事件 \(A\) 出现奇数次的概率.
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设有 \(N\) 个袋子, 每个袋子中装有 \(a\) 只黑球, \(b\) 只白球, 从第一袋中取出一球放入第二袋中, 然后从第二袋中取出一球放入第三袋中, 如此下去, 问从最后一个袋中取出一球而为黑球的概率是多少?
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某商店中出售某种商品, 据历史记录分析, 每月销售量服从泊松分布, 参数为 \(7\), 问在月初进货时要库存多少件此种商品, 才能以 \(0.999\) 的概率充分满足顾客的需要.
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投硬币 \(n\) 回, 第一回出正面的概率为 \(c\), 第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为 \(p\), 求第 \(n\) 回时出正面的概率, 并讨论当 \(n\to\infty\) 时的情况.
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若每条蚕的产卵数服从泊松分布, 参数为 \(\lambda\), 而每个卵变为成虫的概率为 \(p\), 且各卵是否变为成虫彼此独立, 求每蚕养活 \(k\) 只小蚕的概率.
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某交叉路口车流可看作泊松过程, 若一分钟内没有车的概率为 \(0.2\), 求两分钟内有多于一车的概率.
\[P_k(t)=\frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t},\quad k=0,1,2,\cdots \]
解：设车流量服从参数为 \(\lambda\) 的泊松分布, 则于是 \(P_0(1)=0.2\).
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系统中每个元件正常工作的概率为 \(p\), 有半数元件正常则系统可工作, 对什么 \(p\) 值, \(2k+1\) 个元件的系统比 \(2k-1\) 个元件的系统好.
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设 \(\xi,\eta\) 是两个随机变量, 且 \(\xi\sim N(0,1), \ \eta\sim\chi^2(n)\). 令 \(T=\frac{\xi}{\sqrt{\eta/n}}\), 求 \(T\) 的密度.
解：增补变量 \(S=\eta\). -
若 \(P\{\mu=m,\nu=n\}=\frac{(\lambda p)^m(\lambda-\lambda p)^{n-m}}{m!(n-m)!}e^{-\lambda},\ m=0,1,\cdots,n; \ n=0,1,2,\cdots\). 求 (1) \(P\{\nu=n\}\); (2) \(P\{\mu=m\}\); (3) \(P\{\mu=m|\nu=n\}\); (4) \(P\{\nu-\mu=k\}\).
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设 \((\xi,\eta)\) 的联合密度为
\[p(x,y)=\frac{1}{\Gamma(k_1)\Gamma(k_2)}x^{k_1-1}(y-x)^{k_2-1}e^{-y} \]\(k_1,k_2>0, \ 0<x\le y<\infty\). 试求 \(\xi\) 和 \(\eta\) 的边际分布密度.
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设 \((\xi,\eta)\) 服从二元正态分布, 参数为 \(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho\), 以 \(D(\lambda)\) 记下面椭圆的内部:
\[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-\frac{2\rho(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}=\lambda^2 \]试求 \(P\{(\xi,\eta)\in D(\lambda)\}\).
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若 \((\xi,\eta)\) 服从参数为 \(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho\) 的二元正态分布, 试找出 \(\xi+\eta\) 与 \(\xi-\eta\) 相互独立的充要条件.
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设随机变量 \(\xi\) 和 \(\eta\) 相互独立, 且 \(\xi\sim B(n,p), \ \eta\sim U(0,1)\), 试求 \(\xi+\eta\) 的分布函数和密度函数.
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试求顺序统计量 \(\xi_k^*\) 与 \(\xi_l^* \ (k<l)\) 的联合密度函数.
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为收集 \(N\) 张赠券中 \(r\) 张所需购买的食品袋数 \(\xi\) 的数学期望.
解：设收集齐 \(j-1\) 张赠券后到收集齐 \(j\) 张赠券时所购买的食品袋数为 \(\eta_j\). -
甲袋中有 \(a\) 只白球, \(b\) 只黑球; 乙袋中有 \(c\) 只白球, \(d\) 只黑球. 从两袋中各摸出一球, 并交换放入另一袋中, 这样做了 \(n\) 次, 再从甲袋中摸出一球是白球的概率为多少?
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甲与乙依下列规则玩随机游戏: 甲从装有 \(i\) 号球 \(i\) 个\((i＝1,2,3,4,5)\) 的袋中随机摸出一球放入密盒中, 让乙猜号. 乙对甲的支付是他猜的号码与真正的号码之差的 (1) 平方; (2) 绝对值. 试对这两种场合, 讨论乙应采取的最佳策略.
解：均值是最小二乘问题之解, 中位数是最小绝对偏差之解 -
求二项分布的熵.
解：\(H(\alpha)=-\sum\limits_{i=1}^np(A_i)\log p(A_i)\). -
求均匀分布 \(U[0,1]\) 的特征函数.
三、证明题
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证明抽签与顺序无关.
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证明 Bonferroni 不等式: \(P(AB)\ge P(A)+P(B)-1\).
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证明概率既是上连续的又是下连续的.
证：只需证明下连续, 利用对偶原理即可证明上连续. 考虑事件 \(A_i \ (i=1,2,\cdots,n)\in\mathscr{F}\), 记 \(S_n=\sum\limits_{k=1}^nA_i\in\mathscr{F}\), 则 \(\{S_n\}\) 为单调不减的序列, 利用可列可加性即得 \(\lim\limits_{n\to\infty}P(S_n)=P(\lim\limits_{n\to\infty}S_n)\). -
证明下列等式
(1) \(\binom n1+2\binom n2+3\binom n3+\cdots+n\binom nn=n2^{n-1}\);
(2) \(\binom n1-2\binom n2+3\binom n3+\cdots+(-1)^{n-1}n\binom nn=0\);
(3) \(\sum_{k=0}^{a-r}\binom a{k+r}\binom bk=\binom{a+b}{a-r}\). -
利用概率论的思想证明等式
\[1+\frac{A-a}{A-1}+\frac{(A-a)(A-a-1)}{(A-1)(A-2)}+\cdots+\frac{(A-a)\cdots 2\cdot1}{(A-1)\cdots(a+1)a}=\frac Aa, \]其中 \(A,a\in\N^+\), 且 \(A>a\).
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证明 \(\left|P(AB)-P(A)P(B)\right|\le\frac14\), 并讨论等号成立的条件.
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设一个家庭有 \(n\) 个小孩的概率为
\[p_n=\begin{cases} \alpha p^n&, n\ge1\\ 1-\frac{\alpha p}{1-p} &,n=0 \end{cases} \]这里 \(0<p<1, \ 0<\alpha<\frac{1-p}{p}\), 若认为生一个小孩为男孩或女孩的概率是等可能的, 求证一个家庭有 \(k \ (k\ge1)\) 个男孩的概率为 \(\frac{2\alpha p^k}{(2-p)^{k+1}}\).
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证明对于事件 \(A,B\), 关系式 \(P^2(AB)+P^2(\bar AB)+P^2(A\bar B)+P^2(\bar A\bar B)=\frac14\) 成立当且仅当 \(P(A)=P(B)=\frac12, \ P(AB)=\frac14\).
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证明: 事件 \(A_1,A_2,\cdots,A_n\) 相互独立的充要条件为下列 \(2^n\) 个等式成立
\[P(\hat{A}_1\hat A_2\cdots\hat A_n)=P(\hat A_1)P(\hat A_2)\cdots P(\hat A_n) \]其中 \(\hat A_i\) 取为 \(A_i\) 或 \(\bar A_i\).
证：利用数学归纳法 -
在伯努利试验中, 若 \(A\) 出现的概率为 \(p\), 试证在出现 \(m\) 次 \(\bar A\) 之前出现 \(n\) 次 \(A\) 的概率, 即分赌注问题中甲最终取胜的概率, 可由
中的任一式子表出, 即它们是相等的, 其中 \(q=1-p\).
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利用概率论思想证明恒等式 \(\sum\limits_{k=0}^N\binom{N+k}{k}\frac{1}{2^k}=2^N\).
证：考虑巴拿赫火柴盒问题. -
证明从正整数中随机地选取两数, 此两数互素地概率为 \(\frac{6}{\pi^2}\).
证：设 \(p_i\) 是素数, 则所取的数能被 \(p_i\) 整除的概率为 \(\frac{1}{p_i}\). -
证明在离散性分布中, 只有几何分布具有无记忆性.
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证明在连续性分布中, 只有指数分布具有无记忆性.
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设随机变量 \(\xi\) 取值于 \([0,1]\), 若 \(P\{x\le\xi<y\}\) 只与长度 \(y-x\) 有关 (对一切 \(0\le x\le y\le 1\)), 试证 \(\xi\sim U[0,1]\).
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设随机变量 \(\xi\) 与 \(\eta\) 独立同分布于 \(N(0,1)\). 试证 \(\psi=\frac{\xi}{\eta}\) 服从 Cauchy 分布.
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若 \(\xi_1,\cdots,\xi_n\) 相互独立同分布于 \(N(0,1)\), 证明 \(\eta=\xi_1^2+\cdots+\xi_n^2\) 服从 \(\chi^2\) 分布.
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设随机变量 \(\xi,\eta\) 独立同分布于 \(N(0,1)\). 试求 \(U=\xi^2+\eta^2\) 与 \(V=\frac{\xi}{\eta}\) 的分布密度函数, 并证明他们是独立的.
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设随机变量 \(\xi\) 与 \(\eta\) 独立同分布, 其密度函数不为 \(0\) 且有二阶导数, 试证: 若 \(\xi+\eta\) 与 \(\xi-\eta\) 相互独立, 则随机变量 \(\xi,\eta,\xi+\eta,\xi-\eta\) 均服从正态分布.
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证明切比雪夫不等式：对任何具有有限方差的随机变量 \(\xi\), 都有 \(P\{|\xi-E\xi|\ge\varepsilon\}\le\frac{D\xi}{\varepsilon^2}\), 其中 \(\varepsilon\) 为任一正数.
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证明方差为零的随机变量必是常数
证：利用切比雪夫不等式. -
证明两个二值随机变量的不相关性与独立性等价.
证：利用示性函数. -
试证: 若取非负整数值的随机变量 \(\xi\) 的数学期望存在, 则 \(E\xi=\sum\limits_{k=1}^{\infty}P\{\xi\ge k\}\).
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若随机变量 \(\xi\) 的分布函数为 \(F(x)\), 试证:
\[E\xi=\int_0^{+\infty}[1-F(x)]\mathrm{d}x-\int_{-\infty}^0F(x)\mathrm{d}x. \] -
若 \(a\le \xi\le b\), 证明: \(D\xi\le\frac{(b-a)^2}{4}\). 并说明等号成立的条件.
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若 \(\xi_1,\xi_2\) 相互独立, 均服从 \(N(\mu,\sigma^2)\), 试证: \(E\max\{\xi_1,\xi_2\}=\mu+\frac{\sigma}{\sqrt\pi}\).
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设 \(f(x) \ (0\le x<\infty)\) 单调非降, 且 \(f(x)>0\). 对随机变量 \(\xi\), 若 \(E f(|\xi|)<\infty\), 则对任意 \(x>0\), \(P\{|\xi|\ge x\}\le\frac{1}{f(x)}Ef(|\xi|)\).
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(李雅普诺夫定理) 记 \(a_k=E|\xi|^k\), 若 \(a_n<\infty\). 试证: \(\sqrt[k]{a_k}\le\sqrt[k+1]{a_{k+1}}, \ k=1,2,\cdots,n-1\).
\[\left|E|\xi|^{\frac{k-1}{2}}|\xi|^{\frac{k+1}{2}}\right|^2\le E|\xi|^{k-1}\cdot E|\xi|^{k+1}\Rightarrow a_k^2\le a_{k-1}a_{k+1}. \]
解：利用 Cauchy-Schwarz 不等式 -
若 \((\xi,\eta)\) 服从二元正态分布, \(E\xi=a,D\xi=1,E\eta=b,D\eta=1\). 证明: \(\xi\) 与 \(\eta\) 的相关系数为 \(r=\cos q\pi\), 其中 \(q=P\{(\xi-a)(\eta-b)<0\}\).
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若 \((\xi,\eta)\) 服从二元正态分布, \(E\xi=E\eta=0,D\xi=D\eta=1,r_{\xi\eta}=\rho\). 试证: \(E\max(\xi,\eta)=\sqrt{\frac{1-\rho}{\pi}}\).
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证明 Fisher 定理: 若 \(X_1,\cdots,X_n\) 相互独立, 均服从 \(N(\mu,\sigma^2)\), 记
\[\bar X=\frac 1n\sum_{i=1}^nX_i, \ S_n^2=\frac 1n\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2 \]则 (1) \(\bar X\) 与 \(S^2\) 相互独立; (2) \(\bar X\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\); (3) \(\frac{nS_n^2}{\sigma^2}\sim \chi_{n-1}^2\).
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(单边切比雪夫不等式) 设 \(\xi\) 为随机变量, \(E\xi=0,D\xi=\sigma^2<\infty\), 则对 \(\forall a>0\), 证明 \(P\{\xi\ge a\}\le\frac{\sigma^2}{\sigma^2+a^2}\).
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设 \(\{\xi_n,n\ge1\}\) 是独立随机变量序列, 对所有 \(n\ge1, \ D\xi\) 存在且 \(\frac{D\xi_n}{n}\to0(n\to\infty)\). 证明 \(\{\xi_n,n\ge1\}\) 服从大数定律.
证：验证马尔科夫条件.