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本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用
样条插值
1.样条函数
1.1 泛函极小解和三次样条函数
给定区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 的分划：
a
=
x
0
<
x
1
<
⋯
<
x
n
=
b
a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b
a=x0<x1<⋯<xn=b给定
y
i
,
i
=
0
,
1
,
…
,
n
,
y
0
′
,
y
n
′
y_i,i=0,1,\dots,n,y_0',y_n'
yi,i=0,1,…,n,y0′,yn′
设
Ω
y
=
{
f
(
x
)
:
f
∈
C
2
[
a
,
b
]
,
f
(
x
i
)
=
y
i
,
f
′
(
x
0
)
=
y
0
′
,
f
′
(
x
n
)
=
y
n
′
}
\Omega_y=\{f(x):f\in C^2[a,b],f(x_i)=y_i,f'(x_0)=y_0',f'(x_n)=y_n'\}
Ωy={f(x):f∈C2[a,b],f(xi)=yi,f′(x0)=y0′,f′(xn)=yn′}
Ω
0
=
{
η
(
x
)
:
η
∈
C
2
[
a
,
b
]
,
η
(
x
i
)
=
0
,
η
′
(
a
)
=
η
′
(
b
)
=
0
}
\Omega_0=\{\eta(x):\eta\in C^2[a,b],\eta(x_i)=0,\eta'(a)=\eta'(b)=0\}
Ω0={η(x):η∈C2[a,b],η(xi)=0,η′(a)=η′(b)=0}
J
(
f
)
=
∫
a
b
(
f
′
′
(
x
)
)
2
d
x
J(f)=\int_a^b(f''(x))^2\mathrm{d}x
J(f)=∫ab(f′′(x))2dx考虑如下的泛函极小问题：
求
S
(
x
)
∈
Ω
y
S(x)\in \Omega_y
S(x)∈Ωy 满足
J
(
S
)
=
min
f
∈
Ω
y
J
(
f
)
J(S)=\min\limits_{f\in\Omega_y}J(f)
J(S)=f∈ΩyminJ(f)
则
S
(
x
)
∈
Ω
y
S(x)\in\Omega_y
S(x)∈Ωy 是泛函极小问题的解当且仅当
∀
η
(
x
)
∈
Ω
0
,
∫
a
b
η
′
′
(
x
)
S
′
′
(
x
)
d
x
=
0
\forall \eta (x)\in\Omega_0,\int_a^b\eta''(x)S''(x)\mathrm{d}x=0
∀η(x)∈Ω0,∫abη′′(x)S′′(x)dx=0
证明：（相当经典）
充分性：任取
f
∈
Ω
y
f\in\Omega_y
f∈Ωy ，令
η
(
x
)
=
f
(
x
)
−
S
(
x
)
\eta(x)=f(x)-S(x)
η(x)=f(x)−S(x)
∫
a
b
(
f
′
′
(
x
)
)
2
d
x
=
∫
a
b
(
η
′
′
(
x
)
+
S
′
′
(
x
)
)
2
d
x
=
∫
a
b
(
η
′
′
(
x
)
)
2
+
(
S
′
′
(
x
)
)
2
d
x
≥
∫
a
b
(
S
′
′
(
x
)
)
2
d
x
\begin{split} &\int_a^b(f''(x))^2\mathrm{d}x\\ =&\int_a^b(\eta''(x)+S''(x))^2\mathrm{d}x\\ =&\int_a^b(\eta''(x))^2+(S''(x))^2\mathrm{d}x\\ \geq &\int_a^b(S''(x))^2\mathrm{d}x \end{split}
==≥∫ab(f′′(x))2dx∫ab(η′′(x)+S′′(x))2dx∫ab(η′′(x))2+(S′′(x))2dx∫ab(S′′(x))2dx
必要性：任取
η
∈
Ω
0
\eta\in\Omega_0
η∈Ω0，则有
J
(
S
+
α
η
)
≥
J
(
S
)
J(S+\alpha\eta)\geq J(S)
J(S+αη)≥J(S)
记
g
(
α
)
=
J
(
S
+
α
η
)
g(\alpha)=J(S+\alpha\eta)
g(α)=J(S+αη)，则
α
=
0
\alpha=0
α=0 是
g
(
α
)
g(\alpha)
g(α) 的极小值点
由于
d
d
α
(
∫
a
b
(
S
′
′
(
x
)
+
α
η
′
′
(
x
)
)
2
d
x
)
=
∫
a
b
(
2
α
(
η
′
′
(
x
)
)
2
+
2
S
′
′
(
x
)
η
′
′
(
x
)
)
d
x
\begin{split} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\left(\int_a^b(S''(x)+\alpha\eta''(x))^2\mathrm{d}x\right)\\ =&\int_a^b\left(2\alpha(\eta''(x))^2+2S''(x)\eta''(x)\right)\mathrm{d}x\\ \end{split}
=dαd(∫ab(S′′(x)+αη′′(x))2dx)∫ab(2α(η′′(x))2+2S′′(x)η′′(x))dx令
α
=
0
\alpha=0
α=0 ，即得
∫
a
b
η
′
′
(
x
)
S
′
′
(
x
)
d
x
=
0
\int_a^b\eta''(x)S''(x)\mathrm{d}x=0
∫abη′′(x)S′′(x)dx=0
1.2 S ( x ) S(x) S(x) 的结构
设
S
(
x
)
S(x)
S(x) 即为前文所述泛函极小问题的解，且令
S
(
x
)
∈
C
4
(
x
i
,
x
i
+
1
)
,
i
=
0
,
1
,
…
,
n
−
1
S(x)\in C^4(x_i,x_{i+1}),i=0,1,\dots,n-1
S(x)∈C4(xi,xi+1),i=0,1,…,n−1，在每个
x
i
x_i
xi 处有直到四阶的左、右导数
在每个小区间上使用两次分部积分公式，得
∫
a
b
η
′
′
(
x
)
S
′
′
(
x
)
d
x
=
∑
i
=
0
n
−
1
[
η
′
(
x
)
S
′
′
(
x
)
−
η
(
x
)
S
′
′
′
(
x
)
]
∣
x
i
x
i
+
1
+
∑
i
=
0
n
−
1
∫
x
i
x
i
+
1
η
(
x
)
S
′
′
′
′
(
x
)
d
x
=
∑
i
=
0
n
−
1
∫
x
i
x
i
+
1
η
(
x
)
S
′
′
′
′
(
x
)
d
x
=
0
\begin{split} &\int_a^b\eta''(x)S''(x)\mathrm{d}x\\ =&\sum\limits_{i=0}^{n-1}\left[\eta'(x)S''(x)-\eta(x)S'''(x)\right]\bigg|^{x_{i+1}}_{x_i}+\sum\limits_{i=0}^{n-1}\int_{x_i}^{x_{i+1}}\eta(x)S''''(x)\mathrm{d}x\\ =&\sum\limits_{i=0}^{n-1}\int_{x_i}^{x_{i+1}}\eta(x)S''''(x)\mathrm{d}x\\ =&0\\ \end{split}
===∫abη′′(x)S′′(x)dxi=0∑n−1[η′(x)S′′(x)−η(x)S′′′(x)]
xixi+1+i=0∑n−1∫xixi+1η(x)S′′′′(x)dxi=0∑n−1∫xixi+1η(x)S′′′′(x)dx0由
η
(
x
)
\eta(x)
η(x) 的任意性，可得
S
′
′
′
′
(
x
)
S''''(x)
S′′′′(x) 在每个小区间为 0
结论
S
(
x
)
S(x)
S(x) 是具有下列性质的函数
- 在每个小区间上是三次多项式
- 在整个区间上二阶连续可导
- 全体 S ( x ) S(x) S(x) 形成有限维空间 D i m = 4 n − 3 ( n − 1 ) = n + 3 Dim = 4n-3(n-1)=n+3 Dim=4n−3(n−1)=n+3
1.3 三次样条插值
插值条件
- 在 n + 1 n+1 n+1个插值节点 x 0 , x 1 , … , x n x_0,x_1,\dots,x_n x0,x1,…,xn处函数值相同
- 在每个小区间 [ x i , x i + 1 ] [x_i,x_{i+1}] [xi,xi+1] 上是不超过 k k k 次的多项式
- 在整个区间上 k − 1 k-1 k−1 阶连续可导
称满足这些条件的 S k ( x ) S_k(x) Sk(x) 为 k k k 次样条函数，其中常用的是三次样条函数
2. 三次样条函数的构造方法
2.1 三转角
思想：
基于节点构造
S
3
(
x
)
S_3(x)
S3(x) 的分段三次Hermite插值，求二阶导使其二阶连续可导
数学描述
令
S
3
(
x
)
=
∑
i
=
0
n
[
y
i
h
i
(
x
)
+
m
i
h
^
i
(
x
)
]
S_3(x)=\sum\limits_{i=0}^n[y_ih_i(x)+m_i\hat{h}_i(x)]
S3(x)=i=0∑n[yihi(x)+mih^i(x)]，其中
h
,
h
^
h,\hat{h}
h,h^ 为Hermite插值的基函数，求其二阶导使其每个节点的左右导数连续（暂不考虑区间端点）
(
1
−
λ
i
)
m
i
−
1
+
2
m
i
+
λ
i
m
i
+
1
=
μ
i
(1-\lambda_i)m_{i-1}+2m_i+\lambda_im_{i+1}=\mu_i
(1−λi)mi−1+2mi+λimi+1=μi其中
i
=
1
,
2
,
…
,
n
i= 1,2,\dots,n
i=1,2,…,n
λ i = Δ x i − 1 Δ x i − 1 + Δ x i \lambda_i=\frac{\Delta x_{i-1}}{\Delta x_{i-1}+\Delta x_i} λi=Δxi−1+ΔxiΔxi−1
μ i = 3 ( ( 1 − λ i ) f [ x i − 1 , x i ] + λ i f [ x i , x i + 1 ] ) \mu_i=3((1-\lambda_i)f[x_{i-1},x_i]+\lambda_if[x_i,x_{i+1}]) μi=3((1−λi)f[xi−1,xi]+λif[xi,xi+1])
2.2 三弯矩
思想：
基于节点构造
S
′
′
(
x
)
S''(x)
S′′(x) 为连续的分段线性函数，积分两次后代入插值条件
S
3
(
x
i
)
=
y
i
S_3(x_i)=y_i
S3(xi)=yi，对得到的
S
3
(
x
)
S_3(x)
S3(x) 进行求导，使其一阶导数也连续
数学描述
设
S
3
′
′
(
x
i
)
=
M
i
S_3''(x_i)=M_i
S3′′(xi)=Mi，令
S
3
′
′
(
x
)
=
M
i
−
1
x
i
−
x
Δ
x
i
−
1
+
M
i
x
−
x
i
−
1
Δ
x
i
−
1
S_3''(x)=M_{i-1}\frac{x_i-x}{\Delta x_{i-1}}+M_i\frac{x-x_{i-1}}{\Delta x_{i-1}}
S3′′(x)=Mi−1Δxi−1xi−x+MiΔxi−1x−xi−1，由三弯矩的基本思想，得
λ
i
M
i
−
1
+
2
M
i
+
(
1
−
λ
i
)
M
i
+
1
=
d
i
\lambda_iM_{i-1}+2M_i+(1-\lambda_i)M_{i+1}=d_i
λiMi−1+2Mi+(1−λi)Mi+1=di
其中
i
=
1
,
2
,
…
,
n
i=1,2,\dots,n
i=1,2,…,n
d i = 6 f [ x i − 1 , x i , x i + 1 ] d_i=6f[x_{i-1},x_i,x_{i+1}] di=6f[xi−1,xi,xi+1]
2.3 边界条件
无论是三转角还是三弯矩，最后三次样条函数的形式均取决于边界条件
常见的边界条件
- 固支（第一类）边界条件：给出边界处的一阶导数
- 自然边界条件：给出边界处的二阶导数，且二阶导数为 0
- 周期型边界条件：分别令左右边界的函数值，一阶导数值，二阶导数值相等，并给出这三个值
- Not-A-Knot边界条件：
S 3 ′ ′ ′ ( x i + ) = S 3 ′ ′ ′ ( x 1 − ) , S 3 ′ ′ ′ ( x n − 1 + ) = S 3 ′ ′ ′ ( x n − 1 − ) S_3'''(x_i^+)=S_3'''(x_1^-),S_3'''(x_{n-1}^+)=S_3'''(x_{n-1}^-) S3′′′(xi+)=S3′′′(x1−),S3′′′(xn−1+)=S3′′′(xn−1−)
命题
- 三转角固支边界条件： m 0 = f ′ ( x 0 ) , m n = f ′ ( x n ) m_0=f'(x_0),m_n=f'(x_n) m0=f′(x0),mn=f′(xn)
- 三弯矩固支边界条件：
2 M 0 + M 1 = d 0 = 6 f [ x 0 , x 0 , x 1 ] 2M_0+M_1=d_0=6f[x_0,x_0,x_1] 2M0+M1=d0=6f[x0,x0,x1]
M n − 1 + 2 M n = d n 6 f [ x n − 1 , x n , x n ] M_{n-1}+2M_n=d_n6f[x_{n-1},x_n,x_n] Mn−1+2Mn=dn6f[xn−1,xn,xn] - 三转角自然边界条件：
2 m 0 + m 1 = 3 f [ x 0 , x 1 ] = μ 0 2m_0+m_1=3f[x_0,x_1]=\mu_0 2m0+m1=3f[x0,x1]=μ0
m n − 1 + 2 m n = 3 f [ x n − 1 , x n ] = μ n m_{n-1}+2m_n=3f[x_{n-1},x_n]=\mu_n mn−1+2mn=3f[xn−1,xn]=μn
标签：xi,xn,复习,样条,插值,int,eta,mathrm From： https://blog.csdn.net/2301_76884115/article/details/136855474参考书籍：《数值分析》李庆扬 王能超 易大义 编