高等代数复习：线性空间

文章目录

• 线性空间
• • 定义和性质
  • 线性相关性与秩
  • 基与维数
  • 矩阵的秩
  • 同构
  • 坐标
  • 子空间
  • 解线性方程组

本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用

线性空间

定义和性质

定义：（线性空间）
设集合 V V V 和数域 K \mathbb{K} K，在 V V V 上
定义加法 + : V × V → V , ( α , β ) ↦ α + β +:V\times V\to V,(\alpha,\beta)\mapsto \alpha+\beta +:V×V→V,(α,β)↦α+β；
定义数乘 ⋅ : V × V → V , ( k , α ) ↦ k ⋅ α \cdot:V\times V\to V,(k,\alpha)\mapsto k\cdot\alpha ⋅:V×V→V,(k,α)↦k⋅α
上述加法和数乘满足以下性质

1. 加法交换律
2. 加法结合律
3. 加法单位元
4. 加法逆元
5. 数乘单位元
6. 数乘结合律
7. 分配律1： k ( α + β ) = k α + k β k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta k(α+β)=kα+kβ
8. 分配律2： ( k + l ) α = k α + l α (k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha (k+l)α=kα+lα

则称 V V V 是数域 K \mathbb{K} K 上的线性空间

注：若无注明，全篇均默认 V V V 是数域 K \mathbb{K} K 上的线性空间

性质

• 加法单位元是唯一的
• 加法逆元是唯一的
• 加法消去律成立
• 0 ⋅ α = 0 0\cdot\alpha=0 0⋅α=0
• k ⋅ 0 = 0 k\cdot 0=0 k⋅0=0
• ( − 1 ) α = − α (-1)\alpha=-\alpha (−1)α=−α
• 若 k ⋅ α = 0 k\cdot\alpha=0 k⋅α=0，则 α = 0 \alpha =0 α=0或 k = 0 k=0 k=0

线性相关性与秩

线性组合，线性表出，线性相关，线性无关的定义略；线性空间 V V V 中，向量的集合称为向量族，向量的有限集合称向量组

定义：（极大无关组）
设向量族 S S S ，若 S S S 中存在一组向量 { α 1 , … , α r } \{\alpha_1,\dots,\alpha_r\} {α1​,…,αr​} 满足

1. α 1 , … , α r \alpha_1,\dots,\alpha_r α1​,…,αr​ 线性无关
2. S S S 中任一向量均可用 α 1 , … , α r \alpha_1,\dots,\alpha_r α1​,…,αr​ 线性表示

则称 { α 1 , … , α r } \{\alpha_1,\dots,\alpha_r\} {α1​,…,αr​}是向量族 S S S 的极大（线性）无关组

存在性与唯一性
设 S S S 是一向量组且至少包含一个非零向量，则 S S S 的极大无关组一定存在；一般来说，向量族的极大无关组不唯一

定理：（秩的概念）：
设 A A A 与 B B B 都是向量族 S S S 的极大线性无关组，则 A , B A,B A,B 所含的向量个数相等，称为 S S S 的秩，记为 r ( S ) r(S) r(S)

证明思路：
只需证明如下的两个引理
设向量组 A = { α 1 , … , α r } , B = { β 1 , … , β s } A=\{\alpha_1,\dots,\alpha_r\},B=\{\beta_1,\dots,\beta_s\} A={α1​,…,αr​},B={β1​,…,βs​}，且 A A A 中每个向量可由 B B B 线性表出
引理1：若 A A A 线性无关，则 r ≤ s r\leq s r≤s
引理2：若 A , B A,B A,B 均线性无关，则 r = s r=s r=s

引理1的证明:
反证法，归纳地证明，在“ A A A 中每个向量可由 B B B 线性表出”意义下， B B B 中的 β i \beta_i βi​ 可被替换为 α i \alpha_i αi​，由 r > s r>s r>s 推出 A A A 是线性相关的

定义：
可相互线性表出的两个向量组称为等价的

命题：
等价的向量组有相同的秩

基与维数

定义：（基与维数）
设线性空间 V V V ，若 V V V 中存在线性无关的向量 { e 1 , … , e n } \{e_1,\dots,e_n\} {e1​,…,en​} 使得 V V V 中任一向量均可由这组向量线性表出，则称 { e 1 , … , e n } \{e_1,\dots,e_n\} {e1​,…,en​} 是 V V V 的一组基，称 V V V 具有维数 n n n ，记为 d i m K V = n dim_{\mathbb{K}}V=n dimK​V=n，若不存在有限个向量组成 V V V 的一组基，则称 V V V 是无限维线性空间

命题：向量组成为基的条件
设 n n n 维向量空间 V V V， e 1 , … , e n e_1,\dots,e_n e1​,…,en​ 是 V V V 中 n n n 个向量，若其适合下列条件之一，则 { e 1 , … , e n } \{e_1,\dots,e_n\} {e1​,…,en​} 是 V V V 的一组基

1. e 1 , … , e n e_1,\dots,e_n e1​,…,en​ 线性无关
2. V V V 中任一向量均可由 e 1 , … , e n e_1,\dots,e_n e1​,…,en​ 线性表出

基扩张定理
设 n n n 维线性空间 V V V， v 1 , v 2 , … , v m v_1,v_2,\dots,v_m v1​,v2​,…,vm​ 是 V V V 中 m ( m < n ) m(m<n) m(m<n) 个线性无关的向量，又假设 { e 1 , … , e n } \{e_1,\dots,e_n\} {e1​,…,en​} 是 V V V 的一组基，则必可在 { e 1 , … , e n } \{e_1,\dots,e_n\} {e1​,…,en​}中选出 n − m n-m n−m 个向量，使之和 v 1 , … , v m v_1,\dots,v_m v1​,…,vm​一起组成 V V V 的一组基

证明思路
{ e 1 , … , e n } \{e_1,\dots,e_n\} {e1​,…,en​} 中必然能找到一个 e i e_i ei​，加在 { v 1 , v 2 , … , v m } \{v_1,v_2,\dots,v_m\} {v1​,v2​,…,vm​}中仍线性无关；在剩下的向量组中重复这个“找”的过程，直到加到 n n n 为止

矩阵的秩

定义
设 m × n m\times n m×n 阶矩阵 A A A，则 A A A 的 m m m 个行向量的秩称为行秩， n n n个列向量的秩称为列秩

定理
初等变换不改变矩阵的行秩和列秩

推论
任意矩阵的行秩等于列秩

证明思路：相抵标准型

命题：
对任意秩为 r r r 的 m × n m\times n m×n 矩阵 A A A ，总存在 m m m 阶非异阵 P P P， n n n 阶非异阵 Q Q Q，使得 P A Q = ( I r O O O ) PAQ = \begin{pmatrix} I_r&O\\ O&O\\ \end{pmatrix} PAQ=(Ir​O​OO​)

推论

• n n n 阶方阵非奇异当且仅当 A A A 满秩
• 两个同尺寸的矩阵相抵当且仅当秩相同
• 设 m × n m\times n m×n 矩阵 A A A， 则 r ( A ) = r r(A)=r r(A)=r 当且仅当存在一个 r r r 阶子式不等于零，且 A A A 中任意 r + 1 r+1 r+1 阶子式（若存在）都等于零

同构

定义
设 V , U V,U V,U 是数域 K \mathbb{K} K 上的两个线性空间，若存在 V V V 到 U U U 上的一个双射 ϕ \phi ϕ ，使得对任意 V V V 中向量 α , β \alpha,\beta α,β 以及 k ∈ K k\in\mathbb{K} k∈K，均有
ϕ ( α + β ) = ϕ ( α ) + ϕ ( β ) , ϕ ( k α ) = k ϕ ( α ) \phi(\alpha+\beta)=\phi(\alpha)+\phi(\beta),\phi(k\alpha)=k\phi(\alpha) ϕ(α+β)=ϕ(α)+ϕ(β),ϕ(kα)=kϕ(α)
则称 V V V 与 U U U 同构，记为 V ≅ U V\cong U V≅U，称 ϕ \phi ϕ 为同构映射

命题

• 同构映射将线性相关（无关）向量组映为线性相关（无关）向量组
• 同构关系是等价关系：1.自反 2.对称 3.传递
• K \mathbb{K} K上两个有限维线性空间同构当且仅当它们维数相同

坐标

定义：（坐标）
设 n n n 维线性空间 V V V 的一组基 { e 1 , … , e n } \{e_1,\dots,e_n\} {e1​,…,en​}， α ∈ V \alpha\in V α∈V，则有
α = a 1 e 1 + ⋯ + a n e n \alpha=a_1e_1+\cdots+a_ne_n α=a1​e1​+⋯+an​en​称 ( a 1 , … , a n ) ′ (a_1,\dots,a_n)' (a1​,…,an​)′ 为 α \alpha α 在基 { e 1 , … , e n } \{e_1,\dots,e_n\} {e1​,…,en​} 下的坐标

命题
设 { e 1 , … , e n } \{e_1,\dots,e_n\} {e1​,…,en​} 是线性空间 V V V 的基， α 1 , … , α n \alpha_1,\dots,\alpha_n α1​,…,αn​ 是 V V V 中向量，其在基下的坐标向量依次为 α ~ 1 , … , α ~ m \tilde{\alpha}_1,\dots,\tilde{\alpha}_m α~1​,…,α~m​，则向量组 α 1 , … , α n \alpha_1,\dots,\alpha_n α1​,…,αn​ 与 α ~ 1 , … , α ~ m \tilde{\alpha}_1,\dots,\tilde{\alpha}_m α~1​,…,α~m​ 有相同秩

证明
同构映射将 α 1 , … , α n \alpha_1,\dots,\alpha_n α1​,…,αn​ 的极大无关组映为 α ~ 1 , … , α ~ m \tilde{\alpha}_1,\dots,\tilde{\alpha}_m α~1​,…,α~m​ 的极大无关组

定义：（过渡矩阵）
设 { e 1 , … , e n } , { f 1 , … , f n } \{e_1,\dots,e_n\},\{f_1,\dots,f_n\} {e1​,…,en​},{f1​,…,fn​} 是线性空间 V V V 的基，则有
{ f 1 = a 11 e 1 + ⋯ + a 1 n e n ⋮ f n = a n 1 e 1 + ⋯ + a n n e n \begin{cases} f_1=a_{11}e_1+\cdots+a_{1n}e_n\\ \vdots\\ f_n=a_{n1}e_1+\cdots+a_{nn}e_n\\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​f1​=a11​e1​+⋯+a1n​en​⋮fn​=an1​e1​+⋯+ann​en​​称系数矩阵的转置为从 { e 1 , … , e n } \{e_1,\dots,e_n\} {e1​,…,en​} 到 { f 1 , … , f n } \{f_1,\dots,f_n\} {f1​,…,fn​} 的过渡矩阵

命题
设 { e 1 , … , e n } , { f 1 , … , f n } \{e_1,\dots,e_n\},\{f_1,\dots,f_n\} {e1​,…,en​},{f1​,…,fn​} 是线性空间 V V V 的基，且 α = λ 1 e 1 + ⋯ + λ n e n = u 1 f 1 + ⋯ + u n f n \alpha=\lambda_1e_1+\cdots+\lambda_ne_n=u_1f_1+\cdots+u_nf_n α=λ1​e1​+⋯+λn​en​=u1​f1​+⋯+un​fn​则
( λ 1 ⋮ λ n ) ( a 11 ⋯ a n 1 ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ) = ( u 1 ⋮ u n ) \begin{pmatrix} \lambda_1\\ \vdots\\ \lambda_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11}&\cdots&a_{n1}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} u_1\\ \vdots\\ u_n\\ \end{pmatrix} ​λ1​⋮λn​​ ​ ​a11​⋮an1​​⋯⋯​an1​⋮ann​​ ​= ​u1​⋮un​​ ​当且仅当 ( a 11 ⋯ a n 1 ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ) \begin{pmatrix} a_{11}&\cdots&a_{n1}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}\\ \end{pmatrix} ​a11​⋮an1​​⋯⋯​an1​⋮ann​​ ​是从 { e 1 , … , e n } \{e_1,\dots,e_n\} {e1​,…,en​} 到 { f 1 , … , f n } \{f_1,\dots,f_n\} {f1​,…,fn​} 的过渡矩阵

命题
设 A A A 为从 { e 1 , … , e n } \{e_1,\dots,e_n\} {e1​,…,en​} 到 { f 1 , … , f n } \{f_1,\dots,f_n\} {f1​,…,fn​} 的过渡矩阵，则从 { f 1 , … , f n } \{f_1,\dots,f_n\} {f1​,…,fn​} 到 { e 1 , … , e n } \{e_1,\dots,e_n\} {e1​,…,en​} 的过渡矩阵为 A − 1 A^{-1} A−1

子空间

定义：（子空间）
设线性空间 V V V ， V 0 V_0 V0​ 是 V V V 的非空子集，且对任意 α , β ∈ V 0 , k ∈ K \alpha,\beta\in V_0,k\in\mathbb{K} α,β∈V0​,k∈K，总有 α + β ∈ V 0 \alpha+\beta\in V_0 α+β∈V0​ 及 k α ∈ V 0 k\alpha\in V_0 kα∈V0​ ，则称 V 0 V_0 V0​ 是 V V V 的（线性）子空间；称 { 0 } \{0\} {0} 和 V V V 是 V V V 的平凡子空间

命题

• 子空间是线性空间（在全空间的加法和数乘下）
• 若 V 0 V_0 V0​ 是 V V V 的非平凡子空间，则 0 < d i m V 0 < d i m V = n 0<dim V_0<dim V=n 0<dimV0​<dimV=n

定义：（子空间的和与交）
设 V V V 的子空间 V 1 , V 2 V_1,V_2 V1​,V2​
子空间之交： V 1 ∩ V 2 = { v ∣ v ∈ V 1 , v ∈ V 2 } V_1\cap V_2=\{v|v\in V_1,v\in V_2\} V1​∩V2​={v∣v∈V1​,v∈V2​}
子空间之和： V 1 + V 2 = { α + β ∣ α ∈ V 1 , β ∈ V 2 } V_1+V_2=\{\alpha +\beta|\alpha\in V_1,\beta\in V_2\} V1​+V2​={α+β∣α∈V1​,β∈V2​}

命题
子空间之和、之交仍为子空间

定义：子空间的生成
设线性空间 V V V 的子集 S S S，记 L ( S ) L(S) L(S) 为 S S S 中向量所有可能的线性组合构成的子集，则 L ( S ) L(S) L(S) 是 V V V 的一个子空间，称为由 S S S 生成的子空间

命题

• L ( S ) L(S) L(S) 是包含 S S S 的 V V V 的最小子空间
• L ( S ) L(S) L(S) 的维数等于 S S S 中的极大无关组所含向量的个数

定理：维数公式
设线性空间的子空间 V 1 , V 2 V_1,V_2 V1​,V2​，则
dim ⁡ ( V 1 + V 2 ) = dim ⁡ V 1 + dim ⁡ V 2 − dim ⁡ ( V 1 ∩ V 2 ) \dim (V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1\cap V_2) dim(V1​+V2​)=dimV1​+dimV2​−dim(V1​∩V2​)

定义：（直和）
设子空间 V 1 , … , V m V_1,\dots,V_m V1​,…,Vm​，若 ∀ i , V i ∩ ( V 1 + ⋯ + V i − 1 + V i + 1 + ⋯ + V m ) = 0 \forall i ,V_i\cap(V_1+\cdots+V_{i-1}+V_{i+1}+\cdots+V_m)=0 ∀i,Vi​∩(V1​+⋯+Vi−1​+Vi+1​+⋯+Vm​)=0，则称 V 1 + ⋯ + V m V_1+\cdots+V_m V1​+⋯+Vm​ 为直和，记为 V 1 ⊕ ⋯ ⊕ V m V_1\oplus \cdots \oplus V_m V1​⊕⋯⊕Vm​

命题
设子空间 V 1 , … , V m , V 0 = V 1 + ⋯ + V m V_1,\dots,V_m,V_0=V_1+\cdots+V_m V1​,…,Vm​,V0​=V1​+⋯+Vm​，下列等价

1. V 0 = V 1 ⊕ ⋯ ⊕ V m V_0=V_1\oplus \cdots\oplus V_m V0​=V1​⊕⋯⊕Vm​ 是直和
2. ∀ 2 ≤ i ≤ m , V i ∩ ( V 1 + ⋯ + V i − 1 ) = 0 \forall 2\leq i\leq m,V_i\cap(V_1+\cdots+V_{i-1})=0 ∀2≤i≤m,Vi​∩(V1​+⋯+Vi−1​)=0
3. dim ⁡ ( V 1 + ⋯ + V m ) = dim ⁡ V 1 + ⋯ + dim ⁡ V m \dim (V_1+\cdots +V_m)=\dim V_1+\cdots +\dim V_m dim(V1​+⋯+Vm​)=dimV1​+⋯+dimVm​
4. V 1 , … , V m V_1,\dots,V_m V1​,…,Vm​ 的一组基可拼成 V 0 V_0 V0​ 的一组基
5. V 0 V_0 V0​ 中向量表示为 V 1 , … , V m V_1,\dots,V_m V1​,…,Vm​ 中向量之和时其表示唯一

解线性方程组

命题：线性方程组解的存在性与唯一性
考虑 n n n 个未知数， m m m 个方程的线性方程组， A A A 为系数矩阵， A ~ \tilde{A} A~ 为增广矩阵

1. 若 r ( A ) = r ( A ~ ) = n r(A)=r(\tilde{A})=n r(A)=r(A~)=n，则方程组有唯一一组解
2. 若 r ( A ) = r ( A ~ ) < n r(A)=r(\tilde{A})<n r(A)=r(A~)<n，则方程组有无穷多解
3. 若 r ( A ) ≠ r ( A ~ ) r(A)\neq r(\tilde{A}) r(A)=r(A~)，则方程组无解

命题：齐次线性方程组解的结构
设齐次线性方程组 A X = 0 AX=0 AX=0，其中 A = ( a i j ) A=(a_{ij}) A=(aij​) 是 m × n m\times n m×n矩阵
若 r ( A ) = n r(A)=n r(A)=n ，则方程组只有零解
若 r ( A ) < n r(A)<n r(A)<n ，则方程组有非零解，解集构成 n n n 维列向量空间的一个 n − r n-r n−r 维子空间（其基称为基础解系）

命题：非齐次线性方程组解的结构
设非齐次线性方程组 A X = β AX=\beta AX=β， r ( A ) = r ( ( ~ A ) ) = r < n r(A)=r(\tilde(A))=r<n r(A)=r((~​A))=r<n， A X = 0 AX=0 AX=0 的基础解系为 { η 1 , … , η n − r } \{\eta_1,\dots,\eta_{n-r}\} {η1​,…,ηn−r​}，又 r r r 是方程组的任一特解，则其所有解可表示为 k 1 η 1 + k 2 η 2 + ⋯ + k n − r η n − r + γ k_1\eta_1+k_2\eta_2+\cdots+k_{n-r}\eta_{n-r}+\gamma k1​η1​+k2​η2​+⋯+kn−r​ηn−r​+γ

参考书：《高等代数学》谢启鸿 姚慕生 吴泉水 编著