多项式化简技巧
多项式部分
省流：
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1.\(1^2+2^2+···+n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)
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2.若\(n\)为奇数，\(x^n+1=(x+1)(x^{n-1}*(-1)^{n-1}+x^{n-2}*(-1)^{n-2}+···+x*(-1)+1)\)
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3.等比数列求和公式推导：\(x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+···+x+1)\)即\(x^n+1=(x-1)\sum\limits_{i=0}^{n-1} x^i\)
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4.更近一步：\(a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}b^0+a^{n-2}b^1+···+a^0b^{n-1})\)即\(a^n-b^n(a-b)\sum\limits_{i=0}^{n-1} a^{n-1-i}b^i\)
证明
1.\(1^2+2^2+···+n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)
考虑数学归纳法。
当\(n=1\)时，\(1^2=\frac{1}{6}*1*2*3=1\)
设\(n=k\)时等式成立，则\(1^2+2^2+···+k^2=\frac{1}{6}k(k+1)(2k+1)\)
等式两边同时加上\((k+1)^2\)，\(1^2+2^2+···+k^2+(k+1)^2=\frac{1}{6}k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2\)
\[1^2+2^2+···+k^2+(k+1)^2=(k+1)(\frac{1}{6}k(2k+1)+(k+1)) \]\[1^2+2^2+···+k^2+(k+1)^2=(k+1)(\frac{k(2k+1)+6(k+1)}{6}) \]\[1^2+2^2+···+k^2+(k+1)^2=(k+1)(\frac{2k^2+7k+1}{6}) \]对于右边因式分解，\(1^2+2^2+···+k^2+(k+1)^2=(k+1)\frac{ (k+2)(2k+3) }{ 6 }\)
即\(1^2+2^2+···+k^2+(k+1)^2=\frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)\)
证毕。
最大公约数部分
省流：
Ps:\((a,b)=gcd(a,b)\)
- 1.\((a,b)=(a,b+ax)\)
取模相关
省流：
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1.若\(a \equiv b \mod p\)，则\(p|a-b\)。
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2.若\(a \equiv b \mod p\)，则\(a^n \equiv b^n \mod p\)。
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3.若\(a \equiv b \mod p\)且\(a \equiv c \mod p\)，则\(b \equiv c \mod \frac{p}{(a,p)}\)
杂项
省流：
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1.对\(x\)进行质因数，则\(x=p_1^{a_1}*p_2^{a_2}*···*p_n^{a_n}\)。
设\(d_x\)为\(x\)的因数个数，则有\(d_x=(a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)···(a_n+1)\)