首页 > 其他分享 >每日导数83

每日导数83

时间:2024-03-13 09:04:49浏览次数:34  
标签:prime 导数 ln dfrac 每日 varphi 零点 83 gamma

同构、隐零点

已知函数\(f(x)=x\ln x+(t-1)x-t\)

(1)当\(t=0\),讨论\(f(x)\)的极值

(2)若\(F(x)=f(x)-\dfrac{e^x}{e^t}\)有两个不同的极值点,求\(t\)的取值范围


(1)\(f(x)=x\ln x-x\),\(f^{\prime}(x)=\ln x\),则得到\(f(x)\)有唯一的极值点,并且是\(x=1\)极小值点
,并且\(f(1)=-1\)

(2)
法一:隐零点处理

\(F(x)=x\ln x+(t-1)x-t-e^{x-t}\),\(F^{\prime}(x)=\ln x+t-e^{x-t}\)

记\(\varphi(x)=\ln x+t-e^{x-t}\),\(\varphi^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}-e^{x-t}\)单调递增

\(x\to 0,\varphi(x)\to-\infty,x\to+\infty,\varphi(x)\to-\infty\),则有唯一的零点\(x_0\),使得\(\varphi^{\prime}(x_0)=0\)

并且\(x=x_0\)是\(\varphi(x)\)的极大值点

则要使得\(\varphi(x)\)有两个零点,要有\(\varphi(x_0)>0\)

\(\dfrac{1}{x_0}=e^{x_0-t}\),即\(t=x_0+\ln x_0\)

则\(\varphi(x_0)=\ln x_0+t-e^{x_0-t}=\ln x_0+x_0+\ln x_0-\dfrac{1}{x_0}=2\ln x_0+x_0-\dfrac{1}{x_0}>0\)

因\(2\ln x_0+x_0-\dfrac{1}{x_0}\)单调递增

则\(x_0>1\)

从而\(t=x_0+\ln x_0>1\)

法二:同构处理

\(F^{\prime}(x)=0\)有\(\ln x+t-e ^{x-t}=0\)

即\(\ln x=e^{x-t}-t\)

即\(\ln x+x=e^{x-t}+x-t\)

即\(e^{\ln x}+\ln x=e^{x-t}+x-t\)

考虑\(\gamma(x)=e^{x}+x\)

即\(\gamma(\ln x)=\gamma(x-t)\)

因\(\gamma(x)\)单调递增

则\(\ln x=x-t\)

即\(y=\ln x\)与\(y=x-t\)有两个交点

而\(y=\ln x\)与\(y=x-1\)相切

则要使得有两个交点

要有\(t>1\)

标签:prime,导数,ln,dfrac,每日,varphi,零点,83,gamma
From: https://www.cnblogs.com/manxinwu/p/18069739

相关文章

  • LeetCode每日一题[C++]-2864.最大二进制奇数(贪心)
    题目描述给你一个 二进制 字符串 s ,其中至少包含一个 '1' 。你必须按某种方式 重新排列 字符串中的位,使得到的二进制数字是可以由该组合生成的 最大二进制奇数 。以字符串形式,表示并返回可以由给定组合生成的最大二进制奇数。注意 返回的结果字符串 可以 含前......
  • 每日导数82
    简单的但难于计算的二次函数形双参问题已知函数\(f(x)=x^2-ax+2\lnx\)(1)讨论\(f(x)\)单调性(2)已知\(f(x)\)有两个极值点\(x_1,x_2\)且\(x_1<x_2\),证明:$2f(x_1)-f(x_2)\geq-3\ln2$解(1)\(f^{\prime}(x)=2x-a+\dfrac{2}{x}=\dfrac{2x^2-ax+2}{x}\)记\(y=2x^2-ax+2,\Del......
  • 充气泵方案芯片SIC8833的应用
    随着科技的不断发展,电动汽车的迅速崛起,车载轮胎充气泵已经成为我们日常生活中不可或缺的测量和打气工具。为了满足用户对于充气泵多样化的功能需求,在选配时,芯片SIC8833脱颖而出,为充气泵方案带来了革命性的变革。一、充气泵芯片SIC8833介绍SIC8833是一个带24bitADC的......
  • Python函数每日一讲 - id()
    引言几天不见,今天我们来看看一个比较特别的函数id(),这个函数就是用来获取对象在内存中的唯一标识符的函数。语句概览id()函数是Python内置函数之一,用于获取对象在内存中的唯一标识符。其语法格式如下:id(object)其中,object参数是要获取标识符的对象。函数实例例1:获取整数......
  • 代码随想录算法训练营第七天| 454. 四数相加 II 383. 赎金信
    454.四数相加IIhttps://leetcode.cn/problems/4sum-ii/description/、publicintfourSumCount(int[]nums1,int[]nums2,int[]nums3,int[]nums4){intres=0;HashMap<Integer,Integer>map=newHashMap<>();for(inti:nu......
  • 每日博客
    净现值计算 importjava.util.*;publicclassjis{staticScannerin=newScanner(System.in);publicstaticvoidinput(inta[],intn){//数组输入for(inti=0;i<n;i++){a[i]=in.nextInt();}}publicstaticint[......
  • too many files open in system.18067683
    toomanyfilesopeninsystem修改Linux系统限制ulimit-n65535echo"*softnofile65535">>/etc/security/limits.conf查看哪个用户或进程占用的文件多,关闭不必要的文件#查看进程打开文件数最多的前5个进程lsof|awk'{print$2}'|sort|uniq-c|sort-r......
  • 3.11每日总结
    净现值计算 #include<iostream>#include<iomanip>#include<cmath>constintPROJECTS=6;constintYEARS=4;intmain(){//创建二维数组储存每个项目每年利润intmoney[PROJECTS][YEARS]={{-100000,-1000000,-100000,-120000},{10000,......
  • LeetCodeHot100 283. 移动零 11. 盛最多水的容器 15. 三数之和 42. 接雨水
    283.移动零https://leetcode.cn/problems/move-zeroes/description/?envType=study-plan-v2&envId=top-100-likedpublicvoidmoveZeroes(int[]nums){intr=0;for(inti=0;i<nums.length;i++){if(nums[i]!=0){......
  • ARC083 vp记录
    有操作的操作场,考场过了ABC(3/4)A.SugarWater题意:一个杯子,可以容纳\(F\)克糖水,一开始是空的。每次操作:加入\(100A\)克水加入\(100B\)克水加入\(C\)克糖加入\(D\)克糖每\(100\)克水最多溶解\(E\)克糖,求任意次操作后完全溶解的糖水中的最大含糖量,以......