§5. 微积分学基本定理 定积分计算（续）

掌握变限积分的定义和性质，掌握积分第二中值定理。会用换元积分法和分部积分法计算定积分。了解泰勒公式的积分型余项和柯西型余项。

重点习题：例1、例2--例5.

约翰·沃利斯（John Wallis）

沃利斯是英国数学家、物理学家.1616年12月3日(另一说11月23日)生于肯特郡阿什福德 ：1703年11月8日(另一说10月28日)卒于牛津.。沃利斯是一个教区长的儿子，从小受到良好的家庭教育，其父希望他继承神职，为此他进了剑桥大学神学院学习。但沃利斯热爱数学,而神学院又不把数学作为主要课程，沃利斯就自修数学。1640年获硕士学位，同年被委任为牧师。沃利斯认真钻研了同时代数学家笛卡儿,卡瓦列里等人的论著,翻译了一些古代数学家的著作。从1645年开始,他就以数学家的身份参加了伦敦自然科学家的学术会议，1649年成为牛津大学萨维里(Savile,英国爵士,曾任牛津墨顿学院院长,1691年他在牛津设立了两个专业讲座席位，一个是几何的，一个是天文的)几何讲座教授， 并保持席位达54年之久,直到逝世。沃利斯是英国皇家学会的创始之一，并且是国王的牧师。

沃利斯是微积分的先驱者之一。他的主要著作有：《圆锥曲线论》、《无穷小算术》、《论摆线》、《代数学》、《数学文集》等。

沃利斯是最先把圆锥曲线当作二次曲线加以讨论的人之一。他的《圆锥曲线论》第一次摆脱了过去视圆锥曲线为圆锥的截线的纯几何观念。在这一书里，沃利斯熟练地运用笛卡儿坐标法来讨论二次曲线；他是第一个有意识地引进负向横坐标的人,这本书对完善和传播坐标几何的思想起了重要作用。他的《无穷小算术》一书，本质上是从算术的途径大大扩展了卡瓦列利的不可分原理，采用了无穷小量的学说,引入了无穷级数、无穷连乘积。在这本书中他提出了函数的极限的算术概念：“变量的极限──这是变量能如此逼近的一个常数,使它们之间的差能够小于任何给定的量。” 这个定义虽然还不够严密，但却向极限的精确定义迈进了重要的一步。他运用分析法和不可分原理求出了许多面积。牛顿曾说：“大约在我的数学生涯初期,那时我们杰出的同胞沃利斯博士的著作刚刚落入我的手里,他考虑到级数,用级数插入法求出了圆与双曲线的面积。”沃利斯在《摆线论》中得到了与计算曲线弧长的公式相等价的式子。沃利斯的上述成果，给牛顿创立微积分学很大的启发。因此，美国数学史家波耶(Boyer)说：“牛顿承认他在分析和流数方面的第一次发现，是受沃利斯的《无穷小算术》的启发。”在《代数学》里,他完整地说明了零指数、负指数、分数指数的意义,确认无理数是地地道道的数，说明怎样几何地表示实系数二次方程的复根。他还首次引进了沿用至今的无穷大记号，并定义无穷小是其的倒数。沃利斯看到了代数工具的特点，认为代数步骤的简明并不逊于几何的直观，并试图使算术完全脱离几何表示。他使用的是代数方法，而不是传统的几何方法，对求解过程中涉及的无穷小问题给出了精辟的论述。他第一个证明了欧几里得卷5中所有定理都可以毫不困难地从算术导出其结论，他这些观点和成果推动了代数的发展。在《数学文集》中，他提出了连分数这个名词，并给出了计算连分数的渐近分数的一般法则。他还研究了平行线理论。他在分析圆面积时,得到了有名的沃利斯公式。

沃利斯对物理学同样也有很多贡献，他受皇家学会的委托,研究碰撞物体的性质，在1668年首次提出了动量守恒定律,这是第一个重要的守恒定律,这一发现后来被惠更斯(Huygens)和雷恩(Wren)推广。他的专著《力学—运动简论》(1669—1671年)，比较严格地给出了力和动量这些概念的含义。他曾猜想地球引力集中于地心。

沃利斯不愿受传统的严格性和逻辑性的束缚，大胆地采用虽不成熟但较常用的方法。比如类比法、不完全归纳法以及不太明确的无穷大、无穷小概念,并坦然地对它们作代数运算，从而获得了前所未有的结果。他曾说：“我把(不完全)归纳法和类比当作一种很好的考察方法，因为这种方法的确常常使我们很容易发现一般规律，或者至少是为此而作了一个很好的准备。” 他强调数学在科学研究中的作用，认为：“要精确测定物体的运动规律，除了对它们应用数学度量和数学比例外，别无他法。”

沃利斯是17世纪最有才华、最有创造力的科学家之一。 由于他运用自己的数学知识，破译了从保王党人缴获的密码，在上层社会中闻名遐尔，成为有名的密码专家。晚年他把这门技术传播给了他的孙子布莱恩柯威(Blencowe)，但当莱布尼茨为了自己的政府，要求他提供这方面的信息时，他却严守秘密，拒绝作答。他在语言学方面也很有建树，他写了一本名著《英国语言文法》并附有两篇论文“实用语法”和“论语言”.他在语言学方面的这些研究，为他教聋哑人说话的先驱性尝试奠定了一套有用的理论基础。他还发表过一些关于音乐理论的论文。据传他能心算一个具有53位数的数字的平方根，且准确到17位，可谓计算奇才。沃利斯喜欢争论，且带有极端的民族主义的色彩，特别热衷于同像笛卡儿这样的外国人争论。并且他认为同胞牛顿是微积分的创造者，而指责莱布尼茨为剽窃者。