端点效应与放缩

已知函数\(f(x)=(ax^2+x+a)e^{-x}(a\in\mathbb{R})\)

(1)若\(a\geq 0\)，函数\(f(x)\)的极大值为\(\dfrac{3}{e}\)，求\(a\)

(2)对任意的\(a\leq 0\),\(f(x)\leq b\ln(x+1)\)在\((0,+\infty)\)上恒成立，求\(b\)的取值范围

解

(1)\(f^{\prime}(x)=e^{-x}(-ax^2-x-a+2ax+1)=e^{-x}\left[-ax+(1-a)\right](x-1)=0\)

得\(x_1=1,x_2=1-\dfrac{1}{a}\)

Case1 当\(a=0\)时，\(f^{\prime}(x)=e^{-x}(1-x)\),得\(f(x)\)的极大值为\(f(1)=e^{-1}\)舍

Case2 当\(a>0\)时，\(1-\dfrac{1}{a}<1\)
，则不难得到\(f(x)\)的极大值为\(f(1)=3e^{-1}\)得\(a=1\)

综上\(a=1\)

(2)记\(F(a)=(ax^2+x+a)e^{-x}=a(x^2+1)e^{-x}+xe^{-x}\)关于\(a\)是单调递增的

则\(f(x)=F(a)\leq xe^x{-x}\)

要证:\((ax^2+x+a)e^{-x}\leq b\ln(x+1)\)

即证:$ xe^{-x}\leq b\ln(x+1)$

记\(\varphi(x)=xe^{-x}-b\ln (x+1)\),\(\varphi(0)=0\)

\(\varphi^{\prime}(x)=e^{-x}(1-x)-\dfrac{b}{x+1},\varphi^{\prime}(0)=1-b\)

Case1 当\(b\geq 1\)时，\(\varphi^{\prime}(0)\leq 0\)

\(\varphi(x)\leq xe^{-x}-\ln(x+1)\)

记\(\gamma(x)=xe^{-x}-\ln(x+1)\)

\(\gamma^{\prime}(x)=e^{-x}(-x+1)-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1-x^2-e^x}{(x+1)e^x}<\dfrac{1-x^2-1-x-\dfrac{x^2}{2}}{(x+1)e^x}=\dfrac{-x-\dfrac{3x^2}{2}}{(x+1)e^x}<0\)

则\(\gamma(x)\)单调递减，即\(\gamma(x)\leq \gamma(0)=0\)

合题

Case2 当\(0<b<1\)时，\(\varphi^{\prime}(0)=1-b>0,\varphi^{\prime}(1)=-\dfrac{b}{2}<0\)

则由零点存在定理，存在\(x_0\)使得\(\varphi^{\prime}(x_0)=0\)

则在\((0,x_0)\)上，\(\varphi(x)\)单调递增，即\(\varphi(x)>\varphi(0)=0\)

矛盾!，不合题

Case3 当\(b\leq0\)时，左边极限是0,右边极限是\(-\infty\)，矛盾！

综上\(b\geq 1\)