\(\text{Manacher}\) 学习笔记

定义

所谓回文串，指的是对于一个字符串 \(s\)，若它的长为 \(n\)，下标从 \(1\) 到 \(n\)，如果 \(\forall i\in [1,n],s_i=s_{n+1-i}\)，那么字符串 \(s\) 是一个回文串。

给定一个字符串 \(s\)，求解它总共的回文子串个数。对于这一类问题的求解，我们发现，因为一个字符串的回文串最差是 \(O(n^2)\) 个，因此，我们貌似没有什么好的方法去优化算法的复杂度。但是，我们可以换一种更加紧凑的统计方式。

我们认为对于一个字符串 \(s\) 的子串 \(s[i\dots j]\)，它的对称中心为 \(\lfloor\frac{i+j+1}{2}\rfloor\)，那么我们可以统计对于每一个对称中心，长度为奇数、偶数的字符串分别有多少个，记为 \(d_1,d_2\)，将两个数组中的所有值相加起来的结果即为答案。

这样统计的正确性是显然的，那么问题就在于如何求解了。

实现

暴力枚举

首先，对于 \(d_1,d_2\) 有一个性质：对于一个对称中心 \(i\)，假设共有 \(k\) 个以它为中心的回文串，那么这些回文串的右端点一定是 \(i,i+1,\cdots,i+k-1\)。

最容易想到的方法无疑于暴力枚举，对于每一个对称中心，向两边枚举，直到两端不相同，将统计到的答案记入数组中，这样的复杂度是 \(O(n^2)\) 的。

\(\text{Manacher}\)

与暴力枚举不同的是，\(\text{Manacher}\) 致力于找到对于一个对称中心 \(i\)，通过之前已经求解出的 \(d_1\) 数组，通过较优的复杂度处理出对应的结果。

我们考虑枚举到 \(i\) 时，整个字符串中右端点最靠右的回文串的下标范围为 \([l,r]\)。当 \(i\le r\) 时，我们可以得知 \(s_i=s_{l+r-i}\)。这是回文串的定义，更普遍的，\(\forall j\in[i-r,r-i],s_{i+j}=s_{l+r-i-j}\)。因为这两个位置是回文串 \([l,r]\) 的对应位置。现在我们目光聚集于以 \(i\) 为对称中心的回文串，我们发现 \(s_{i+j}=s_{i-j}\) 成立当且仅当 \(s_{l+r-i-j}=s_{l+r-i+j}\)，这等价于两个位置关于 \(l+r-i\) 对称的点相等，那么我们发现，\(l+r-i\) 为对称中心的回文串有多少个，那么以 \(i\) 对称中心的回文串就理论有多少个。

为什么是理论多少个，因为当以 \(l+r-i\) 为对称中心的最长回文串超出了最右回文串的范围时，便不能保证答案的正确性，因为此时的 \(s_{l+r-i-j}\ne s_{i+j}\)。所以我们需要取 \(\min(d_1[l+r-i],r-i+1)\) 作为初始的最长长度，接着不断向两侧暴力拓展。

当 \(i>r\) 时，对称中心不在回文串中，因此只能暴力。

接着考虑复杂度的问题，对于 \(i\le r\) 的情况，容易证明不会将 \(k\) 增加。而对于 \(i>r\) 的情况，\(k\) 增加多少，就会将最右回文串向右移动多少位，因为最右回文串的右端点不会减小，并且最大为 \(n\)，因此复杂度是 \(O(n)\) 的。

以上的讨论均针对长度为奇数的回文串，长度为偶数的回文串的思路类似。两者代码不同，但我们可以通过一个预处理，在一个基本相同的时间复杂度内用相同的代码求解。

考虑将所有的回文串的长度均变为奇数的方法：在字符串的开头、结尾和任意两个字符串之间均添加一个相同字符，如 \(\#\)，这样原来长度为 \(n\) 的回文串的长度会变为 \(2n+1\)，一定为奇数。此时可以只通过求解长度为奇数的回文串得到正确答案。值得注意的是，如此处理完成后，回文串 \(s\) 和回文串 \(\#s\#\) 在原串中对应的回文串相等，因此应将答案整体除以 \(2\)。更具体的，设 \(\text{Manacher}\) 处理出的数组为 \(d\) ，那么 \(d_1\) 与对应的 \(d\) 的关系为 \(d=2d_1\)，\(d_2\) 与对应的 \(d\) 的关系为 \(d=2d_2+1\)。

代码

void Manacher(){
    int l=0,r=-1;//初始化
    for(int i=0;i<n;i++){
        int k=(i>r)?1:min(d[l+r-i],r-i+1);//判断已知最长回文串的长度
        while(i-k>=0&&i+k<n&&s1[i-k]==s1[i+k])k++;//暴力枚举
        d[i]=k--;//记录答案
        if(i+k>r){
            l=i-k;
            r=i+k;
        }//更新最右回文串
    }
    return ;
}

应用

最长回文子串

之前讲解了利用后缀数组 \(O(n\log n)\) 求解的办法，接下来讲解更为迅猛的 \(\text{Manacher}\) 法。

在我们求解出 \(d\) 数组后，我们容易得到以每一个位置为对称中心的最长回文子串的长度：对于长度为奇数的回文串，它的最长长度为 \(2d_1-1=d-1\)；对于长度为偶数的回文串，它的最长长度为 \(2d_2=d-1\)。因此对 \(d\) 数组的值取最大后将答案减 \(1\) 即可。复杂度是 \(O(n)\) 的。

后记

事实上，不只是对回文串，对具有回文串类似的性质，即满足 \(\forall i\in[1,n],\text{Check}(s_i,s-n+1-i)=\text{True}\) 的定义，都可以利用 \(\text{Manacher}\) 求解。