如题：已知 \(n\in\N_+\)。
- 证明：存在多项式 \(p(x)\) 满足 \(\cos(n\theta)=p(\cos\theta)\)。
- 求 \(\cos(10\theta)\)。
解 \((1)\)：
设虚数 \(z=\cos\theta+\text i\sin\theta\)，\(\omega=z^n=A+\text iB\).
则虚数 \(\omega=z^n\) 的实部 \(A\) 即为 \(\cos(n\theta)\).
展开 \(\omega\)，得到
\[\omega=z^n=(\cos\theta+\text i\sin\theta)^n=\sum\limits_{k=0}^n\dbinom{n}{k}\cos^{n-k}\theta\cdot(\text i\sin\theta)^k \]其中当 \(k\) 为奇数时，\(\dbinom{n}{k}\cos^{n-k}\theta\cdot(\text i\sin\theta)^k\) 的结果为虚数，累加入 \(B\) 中；当 \(k\) 为偶数时，\(\dbinom{n}{k}\cos^{n-k}\theta\cdot(\text i\sin\theta)^k\) 的结果为实数，累加入 \(A\) 中。
所以
\[\begin{aligned} \cos(n\theta)=A&=\sum\limits_{k=0}^{\lfloor\frac n2\rfloor}\dbinom{n}{2k}(\text i\sin\theta)^{2k}\cdot\cos^{n-2k}\theta \\&=\sum\limits_{k=0}^{\lfloor\frac n2\rfloor}\dbinom{n}{2k}(\text i^2\sin^2\theta)^k\cdot\cos^{n-2k}\theta \\&=\sum\limits_{k=0}^{\lfloor\frac n2\rfloor}\dbinom{n}{2k}(\cos^2\theta-1)^k\cdot\cos^{n-2k}\theta \end{aligned} \]故所求即
\[p(x)=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac n2\rfloor}\dbinom{n}{2k}(x^2-1)^k\cdot x^{n-2k} \]解 \((2)\)：
\(\cos(10\theta)=\) 我的工资是你的十倍。
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