基本微积分公式

1. 微分的思想：

   • 变化率的研究：微分学关注于函数在某一点处的变化率。通过计算导数，我们可以了解函数在该点的斜率，即函数图像在该点的切线的斜率。这使得我们能够揭示函数在该点附近的局部行为，包括凹凸性、最值、拐点等。
   • 极限的概念：微分的定义涉及到极限的概念。当我们讨论函数在无限小的变化下的行为时，我们实际上在研究函数在一个点上的极限。微分的思想是通过将自变量趋向于某个值，来研究函数在该点处的极限行为，从而得到函数的导数。

2. 积分的思想：

   • 累积的概念：积分学关注于函数在一个区间上的累积效应。通过积分，我们可以计算函数在该区间上的总体变化量，如面积、体积、质量等。这使得我们能够理解和描述各种连续变化的过程，从而对现实世界中的各种现象进行建模和分析。
   • 极限的概念：积分的定义也涉及到极限的概念。当我们将一个区间分割成无限小的子区间，并计算这些子区间上的和的极限时，我们实际上在研究函数在该区间上的积分。积分的思想是通过将区间分割成无限细小的部分，来近似计算函数在整个区间上的累积效应。

以下是一些常用的积分公式，这些公式涵盖了各种不同类型的函数：

1. 基本积分公式：

   • ∫0dx = c（c为常数）
   • ∫x^udx = (x^(u+1))/(u+1) + c （u ≠ -1）
   • ∫1/xdx = ln|x| + c
   • ∫a^xdx = (a^x)/lna + c （a > 0, a ≠ 1）
   • ∫e^xdx = e^x + c
   • ∫sinxdx = -cosx + c
   • ∫cosxdx = sinx + c
   • ∫1/(cosx)^2dx = tanx + c
   • ∫1/(sinx)^2dx = -cotx + c

2. 指数积分公式：

   • ∫e^(ax)dx = (e^(ax))/a + c （a ≠ 0）
   • ∫a^xdx = (a^x)/lna + c （a > 0, a ≠ 1）

3. 对数积分公式：

   • ∫lnx dx = xlnx - x + c
   • ∫(lnx)^n dx = x(lnx)^(n+1)/(n+1) + c （n ≠ -1）

4. 三角函数积分公式：

   • ∫sin^2(x)dx = (x/2) - (sin(2x)/4) + c
   • ∫cos^2(x)dx = (x/2) + (sin(2x)/4) + c
   • ∫tan(x)dx = -ln|cos(x)| + c
   • ∫cot(x)dx = ln|sin(x)| + c
   • ∫sec(x)dx = ln|sec(x) + tan(x)| + c
   • ∫csc(x)dx = ln|csc(x) - cot(x)| + c

5. 反三角函数积分公式：

   • ∫arcsin(x)dx = xarcsin(x) + (1-x^2)^(1/2) + c
   • ∫arccos(x)dx = xarccos(x) - (1-x^2)^(1/2) + c
   • ∫arctan(x)dx = xarctan(x) - (1/2)ln(1+x^2) + c
   • ∫arccot(x)dx = xarccot(x) + (1/2)ln(1+x^2) + c

6. 其他常用积分公式：

   • ∫sec^2(x)dx = tan(x) + c
   • ∫csc^2(x)dx = -cot(x) + c
   • ∫1/√(a^2-x^2)dx = arcsin(x/a) + c
   • ∫1/(a^2+x^2)dx = (1/a)arctan(x/a) + c

以上公式只是一部分常用的积分公式，实际上还有很多其他类型的积分公式，具体使用哪个公式要根据被积函数的类型来确定。

基本微分公式

1. 常数函数的微分：d/dx(k) = 0，其中k是常数。
2. 幂函数的微分：d/dx(x^n) = nx^(n-1)，其中n是实数。
3. 指数函数的微分：d/dx(e^x) = e^x。
4. 对数函数的微分：d/dx(ln|x|) = 1/x，其中x > 0。
5. 三角函数的微分：
   • d/dx(sin(x)) = cos(x)
   • d/dx(cos(x)) = -sin(x)
   • d/dx(tan(x)) = sec^2(x)
   • d/dx(cot(x)) = -csc^2(x)
   • d/dx(sec(x)) = sec(x)tan(x)
   • d/dx(csc(x)) = -csc(x)cot(x)
6. 反三角函数的微分：
   • d/dx(arcsin(x)) = 1/√(1 - x^2)
   • d/dx(arccos(x)) = -1/√(1 - x^2)
   • d/dx(arctan(x)) = 1/(1 + x^2)
   • d/dx(arccot(x)) = -1/(1 + x^2)

积分的方法有很多种，每种方法都有其特定的应用场景。以下是积分的一些常见方法：

1. 凑微分法：也称为“逆向链式法则”，通常用于将复杂的被积函数转化为已知的基本积分公式形式。
2. 换元积分法：包括代数换元和三角换元。通过引入新的变量，将原积分转化为更简单的形式进行求解。
3. 分部积分法：适用于乘积形式的函数。将复杂的被积函数拆分成两部分，分别对每一部分进行积分，然后通过合并得到原积分的解。
4. 数值积分法：对于不能通过解析方法求解的积分，可以通过数值方法进行近似计算。常见的数值积分方法包括梯形法、辛普森法、牛顿-科茨法等。
5. 有理函数的积分：对于有理函数（即分子和分母都是多项式的函数），可以通过分解因式或使用部分分式分解的方法来进行积分。
6. 三角函数的积分：对于含有三角函数的积分，可以利用三角恒等式或三角函数的转换公式来简化积分过程。
7. 指数函数的积分：对于指数函数，可以通过换元或使用积分表来求解。
8. 对数函数的积分：对于对数函数，可以通过换元或使用积分表来求解。
9. 分段函数的积分：对于分段定义的函数，需要分别对每个分段进行积分，然后将结果相加。
10. 奇偶性积分：利用函数的奇偶性来简化积分过程。例如，对于奇函数在对称区间上的积分，结果为0。

微分的运算规则

1. 常数倍数的微分：d/dx(ku(x)) = k * d/dx(u(x))，其中k是常数。
2. 和与差的微分：d/dx(u(x) ± v(x)) = d/dx(u(x)) ± d/dx(v(x))。
3. 乘积的微分：d/dx(u(x)v(x)) = u(x) * d/dx(v(x)) + v(x) * d/dx(u(x))，也称为乘积法则或莱布尼茨法则。
4. 商的微分：d/dx(u(x)/v(x)) = (v(x) * d/dx(u(x)) - u(x) * d/dx(v(x))) / (v(x))^2，也称为商的法则或求导数的除法法则。
5. 链式法则：如果y = f(u)且u = g(x)，则dy/dx = (dy/du) * (du/dx)。这是处理复合函数的重要法则。
6. 隐函数的微分：对于隐函数y = f(x)，如果y不能显式地表示为x的函数，可以使用隐函数的微分法则来求解dy/dx。

其他常用微分公式

1. 对数函数的微分：d/dx(log_a(x)) = 1/(xln(a))，其中a > 0且a ≠ 1。
2. 双曲函数的微分：
   • d/dx(sinh(x)) = cosh(x)
   • d/dx(cosh(x)) = sinh(x)
   • d/dx(tanh(x)) = sech^2(x)
   • d/dx(coth(x)) = -csch^2(x)
   • d/dx(sech(x)) = -sech(x)tanh(x)
   • d/dx(csch(x)) = -csch(x)coth(x)

理解，我会尝试更全面地列举一些积分公式，包括更多的函数类型和特殊情况。

1. 基本函数的积分：

   • <span class="katex" style="border: 0px solid rgb(227, 227, 227); box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; font-variant-numeric: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-alternates: normal; font-kerning: auto; font-optical-sizing: auto; font-feature-settings: normal; font-variation-settings: normal; font-variant-position: normal; font-stretch: normal; font-size: 1.21em; line-height: 1.2; font-family: KaTeX_Main, "Times New Roman", serif; text-rendering: auto;"><span class="katex-mathml" style="border: 0px; box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; forced-color-adjust: none !important; clip: rect(1px, 1px, 1px, 1px); height: 1px; overflow: hidden; padding: 0px; position: absolute; width: 1px;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>∫</mo><mi>�</mi><mtext> </mtext><mi>�</mi><mi>�</mi><mo>=</mo><mi>�</mi><mi>�</mi><mo>+</mo><mi>�</mi></mrow></semantics></math>∫kdx=kx+C （常数函数）
   • <span class="katex" style="border: 0px solid rgb(227, 227, 227); box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; 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   • <span class="katex" style="border: 0px solid rgb(227, 227, 227); box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; font-variant-numeric: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-alternates: normal; font-kerning: auto; font-optical-sizing: auto; font-feature-settings: normal; font-variation-settings: normal; font-variant-position: normal; font-stretch: normal; font-size: 1.21em; line-height: 1.2; font-family: KaTeX_Main, "Times New Roman", serif; text-rendering: auto;"><span class="katex-mathml" style="border: 0px; box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; forced-color-adjust: none !important; clip: rect(1px, 1px, 1px, 1px); height: 1px; overflow: hidden; padding: 0px; position: absolute; width: 1px;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>∫</mo><msup><mi>�</mi><mi>�</mi></msup><mtext> </mtext><mi>�</mi><mi>�</mi><mo>=</mo><msup><mi>�</mi><mi>�</mi></msup><mo>+</mo><mi>�</mi></mrow></semantics></math>∫exdx=ex+C
   • <span class="katex" style="border: 0px solid rgb(227, 227, 227); box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; 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box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; font-variant-numeric: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-alternates: normal; font-kerning: auto; font-optical-sizing: auto; font-feature-settings: normal; font-variation-settings: normal; font-variant-position: normal; font-stretch: normal; font-size: 1.21em; line-height: 1.2; font-family: KaTeX_Main, "Times New Roman", serif; text-rendering: auto;"><span class="katex-mathml" style="border: 0px; box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; 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box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; 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   • <span class="katex" style="border: 0px solid rgb(227, 227, 227); box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; font-variant-numeric: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-alternates: normal; font-kerning: auto; font-optical-sizing: auto; font-feature-settings: normal; font-variation-settings: normal; font-variant-position: normal; font-stretch: normal; font-size: 1.21em; line-height: 1.2; font-family: KaTeX_Main, "Times New Roman", serif; text-rendering: auto;"><span class="katex-mathml" style="border: 0px; box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; forced-color-adjust: none !important; clip: rect(1px, 1px, 1px, 1px); height: 1px; overflow: hidden; padding: 0px; position: absolute; width: 1px;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>∫</mo><mi>log</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>�</mi><mo stretchy="false">)</mo><mtext> </mtext><mi>�</mi><mi>�</mi><mo>=</mo><mi>�</mi><mi>log</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>�</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>−</mo><mi>�</mi><mo>+</mo><mi>�</mi></mrow></semantics></math>∫log(x)dx=xlog(x)−x+C （自然对数函数）
   • <span class="katex" style="border: 0px solid rgb(227, 227, 227); box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; font-variant-numeric: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-alternates: normal; font-kerning: auto; font-optical-sizing: auto; font-feature-settings: normal; font-variation-settings: normal; font-variant-position: normal; font-stretch: normal; font-size: 1.21em; line-height: 1.2; font-family: KaTeX_Main, "Times New Roman", serif; text-rendering: auto;"><span class="katex-mathml" style="border: 0px; box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; forced-color-adjust: none !important; clip: rect(1px, 1px, 1px, 1px); height: 1px; overflow: hidden; padding: 0px; position: absolute; width: 1px;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>∫</mo><mfrac><mn>1</mn><mi>�</mi></mfrac><mtext> </mtext><mi>�</mi><mi>�</mi><mo>=</mo><mi>log</mi><mo>⁡</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>�</mi><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo>+</mo><mi>�</mi></mrow></semantics></math>∫x1​dx=log∣x∣+C （倒数函数）

2. 三角函数的积分：

   • <span class="katex" style="border: 0px solid rgb(227, 227, 227); box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; font-variant-numeric: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-alternates: normal; font-kerning: auto; font-optical-sizing: auto; font-feature-settings: normal; font-variation-settings: normal; font-variant-position: normal; font-stretch: normal; font-size: 1.21em; line-height: 1.2; font-family: KaTeX_Main, "Times New Roman", serif; text-rendering: auto;"><span class="katex-mathml" style="border: 0px; box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; forced-color-adjust: none !important; clip: rect(1px, 1px, 1px, 1px); height: 1px; overflow: hidden; padding: 0px; position: absolute; width: 1px;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>∫</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>�</mi><mo stretchy="false">)</mo><mtext> </mtext><mi>�</mi><mi>�</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>�</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>�</mi></mrow></semantics></math>∫sin(x)dx=−cos(x)+C
   • <span class="katex" style="border: 0px solid rgb(227, 227, 227); box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; font-variant-numeric: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-alternates: normal; font-kerning: auto; font-optical-sizing: auto; font-feature-settings: normal; font-variation-settings: normal; font-variant-position: normal; font-stretch: normal; font-size: 1.21em; line-height: 1.2; font-family: KaTeX_Main, "Times New Roman", serif; text-rendering: auto;"><span class="katex-mathml" style="border: 0px; box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; forced-color-adjust: none !important; clip: rect(1px, 1px, 1px, 1px); height: 1px; overflow: hidden; padding: 0px; position: absolute; width: 1px;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>∫</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>�</mi><mo stretchy="false">)</mo><mtext> </mtext><mi>�</mi><mi>�</mi><mo>=</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>�</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>�</mi></mrow></semantics></math>∫cos(x)dx=sin(x)+C
   • <span class="katex" style="border: 0px solid rgb(227, 227, 227); box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; font-variant-numeric: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-alternates: normal; font-kerning: auto; font-optical-sizing: auto; font-feature-settings: normal; font-variation-settings: normal; font-variant-position: normal; font-stretch: normal; font-size: 1.21em; line-height: 1.2; font-family: KaTeX_Main, "Times New Roman", serif; text-rendering: auto;"><span class="katex-mathml" style="border: 0px; box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; forced-color-adjust: none !important; clip: rect(1px, 1px, 1px, 1px); height: 1px; overflow: hidden; padding: 0px; position: absolute; width: 1px;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>∫</mo><mi>tan</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>�</mi><mo stretchy="false">)</mo><mtext> </mtext><mi>�</mi><mi>�</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>�</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo>+</mo><mi>�</mi></mrow></semantics></math>∫tan(x)dx=−ln∣cos(x)∣+C
   • <span class="katex" style="border: 0px solid rgb(227, 227, 227); box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; font-variant-numeric: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-alternates: normal; font-kerning: auto; font-optical-sizing: auto; font-feature-settings: normal; font-variation-settings: normal; font-variant-position: normal; font-stretch: normal; font-size: 1.21em; line-height: 1.2; font-family: KaTeX_Main, "Times New Roman", serif; text-rendering: auto;"><span class="katex-mathml" style="border: 0px; box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; forced-color-adjust: none !important; clip: rect(1px, 1px, 1px, 1px); height: 1px; overflow: hidden; padding: 0px; position: absolute; width: 1px;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>∫</mo><mi>sec</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>�</mi><mo stretchy="false">)</mo><mtext> </mtext><mi>�</mi><mi>�</mi><mo>=</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>sec</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>�</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>tan</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>�</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo>+</mo><mi>�</mi></mrow></semantics></math>∫sec(x)dx=ln∣sec(x)+tan(x)∣+C
   • <span class="katex" style="border: 0px solid rgb(227, 227, 227); box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; font-variant-numeric: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-alternates: normal; font-kerning: auto; font-optical-sizing: auto; font-feature-settings: normal; font-variation-settings: normal; font-variant-position: normal; font-stretch: normal; font-size: 1.21em; line-height: 1.2; font-family: KaTeX_Main, "Times New Roman", serif; text-rendering: auto;"><span class="katex-mathml" style="border: 0px; box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; forced-color-adjust: none !important; clip: rect(1px, 1px, 1px, 1px); height: 1px; overflow: hidden; padding: 0px; position: absolute; width: 1px;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>∫</mo><mi>csc</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>�</mi><mo stretchy="false">)</mo><mtext> </mtext><mi>�</mi><mi>�</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>csc</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>�</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>cot</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>�</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo>+</mo><mi>�</mi></mrow></semantics></math>∫csc(x)dx=−ln∣csc(x)+cot(x)∣+C
   • <span class="katex" style="border: 0px solid rgb(227, 227, 227); box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; font-variant-numeric: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-alternates: normal; font-kerning: auto; font-optical-sizing: auto; font-feature-settings: normal; font-variation-settings: normal; font-variant-position: normal; font-stretch: normal; font-size: 1.21em; line-height: 1.2; font-family: KaTeX_Main, "Times New Roman", serif; text-rendering: auto;"><span class="katex-mathml" style="border: 0px; box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; forced-color-adjust: none !important; clip: rect(1px, 1px, 1px, 1px); height: 1px; overflow: hidden; padding: 0px; position: absolute; width: 1px;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>∫</mo><mi>cot</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>�</mi><mo stretchy="false">)</mo><mtext> </mtext><mi>�</mi><mi>�</mi><mo>=</mo><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>�</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="normal">∣</mi><mo>+</mo><mi>�</mi></mrow></semantics></math>∫cot(x)dx=ln∣sin(x)∣+C

3. 反三角函数的积分：

   • <span class="katex" style="border: 0px solid rgb(227, 227, 227); box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; font-variant-numeric: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-alternates: normal; font-kerning: auto; font-optical-sizing: auto; font-feature-settings: normal; font-variation-settings: normal; font-variant-position: normal; font-stretch: normal; font-size: 1.21em; line-height: 1.2; font-family: KaTeX_Main, "Times New Roman", serif; text-rendering: auto;"><span class="katex-mathml" style="border: 0px; box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; forced-color-adjust: none !important; clip: rect(1px, 1px, 1px, 1px); height: 1px; overflow: hidden; padding: 0px; position: absolute; width: 1px;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>∫</mo><mi>arcsin</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>�</mi><mo stretchy="false">)</mo><mtext> </mtext><mi>�</mi><mi>�</mi><mo>=</mo><mi>�</mi><mi>arcsin</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>�</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><msqrt><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><msup><mi>�</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt><mo>+</mo><mi>�</mi></mrow></semantics></math>∫arcsin(x)dx=xarcsin(x)+1−x2​+C
   • <span class="katex" style="border: 0px solid rgb(227, 227, 227); box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; font-variant-numeric: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-alternates: normal; font-kerning: auto; font-optical-sizing: auto; font-feature-settings: normal; font-variation-settings: normal; font-variant-position: normal; font-stretch: normal; font-size: 1.21em; line-height: 1.2; font-family: KaTeX_Main, "Times New Roman", serif; text-rendering: auto;"><span class="katex-mathml" style="border: 0px; box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; forced-color-adjust: none !important; clip: rect(1px, 1px, 1px, 1px); height: 1px; overflow: hidden; padding: 0px; position: absolute; width: 1px;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>∫</mo><mi>arccos</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>�</mi><mo stretchy="false">)</mo><mtext> </mtext><mi>�</mi><mi>�</mi><mo>=</mo><mi>�</mi><mi>arccos</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>�</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>−</mo><msqrt><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><msup><mi>�</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt><mo>+</mo><mi>�</mi></mrow></semantics></math>∫arccos(x)dx=xarccos(x)−1−x2​+C
   • <span class="katex" style="border: 0px solid rgb(227, 227, 227); box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; font-variant-numeric: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-alternates: normal; font-kerning: auto; font-optical-sizing: auto; font-feature-settings: normal; font-variation-settings: normal; font-variant-position: normal; font-stretch: normal; font-size: 1.21em; line-height: 1.2; font-family: KaTeX_Main, "Times New Roman", serif; text-rendering: auto;"><span class="katex-mathml" style="border: 0px; box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; forced-color-adjust: none !important; clip: rect(1px, 1px, 1px, 1px); height: 1px; overflow: hidden; padding: 0px; position: absolute; width: 1px;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>∫</mo><mi>arctan</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>�</mi><mo stretchy="false">)</mo><mtext> </mtext><mi>�</mi><mi>�</mi><mo>=</mo><mi>�</mi><mi>arctan</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>�</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>−</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>ln</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>�</mi><mn>2</mn></msup><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>�</mi></mrow></semantics></math>∫arctan(x)dx=xarctan(x)−21​ln(1+x2)+C

4. 双曲函数的积分：

   • <span class="katex" style="border: 0px solid rgb(227, 227, 227); box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; font-variant-numeric: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-alternates: normal; font-kerning: auto; font-optical-sizing: auto; font-feature-settings: normal; font-variation-settings: normal; font-variant-position: normal; font-stretch: normal; font-size: 1.21em; line-height: 1.2; font-family: KaTeX_Main, "Times New Roman", serif; text-rendering: auto;"><span class="katex-mathml" style="border: 0px; box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; forced-color-adjust: none !important; clip: rect(1px, 1px, 1px, 1px); height: 1px; overflow: hidden; padding: 0px; position: absolute; width: 1px;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>∫</mo><mi>sinh</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>�</mi><mo stretchy="false">)</mo><mtext> </mtext><mi>�</mi><mi>�</mi><mo>=</mo><mi>cosh</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>�</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>�</mi></mrow></semantics></math>∫sinh(x)dx=cosh(x)+C
   • <span class="katex" style="border: 0px solid rgb(227, 227, 227); box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; font-variant-numeric: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-alternates: normal; font-kerning: auto; font-optical-sizing: auto; font-feature-settings: normal; font-variation-settings: normal; font-variant-position: normal; font-stretch: normal; font-size: 1.21em; line-height: 1.2; font-family: KaTeX_Main, "Times New Roman", serif; text-rendering: auto;"><span class="katex-mathml" style="border: 0px; box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; forced-color-adjust: none !important; clip: rect(1px, 1px, 1px, 1px); height: 1px; overflow: hidden; padding: 0px; position: absolute; width: 1px;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>∫</mo><mi>cosh</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>�</mi><mo stretchy="false">)</mo><mtext> </mtext><mi>�</mi><mi>�</mi><mo>=</mo><mi>sinh</mi><mo>⁡</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>�</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>�</mi></mrow></semantics></math>∫cosh(x)dx=sinh(x)+C

5. 其他特殊函数的积分：

   • <span class="katex" style="border: 0px solid rgb(227, 227, 227); box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; font-variant-numeric: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-alternates: normal; font-kerning: auto; font-optical-sizing: auto; font-feature-settings: normal; font-variation-settings: normal; font-variant-position: normal; font-stretch: normal; font-size: 1.21em; line-height: 1.2; font-family: KaTeX_Main, "Times New Roman", serif; text-rendering: auto;"><span class="katex-mathml" style="border: 0px; box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; forced-color-adjust: none !important; clip: rect(1px, 1px, 1px, 1px); height: 1px; overflow: hidden; padding: 0px; position: absolute; width: 1px;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>∫</mo><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mrow><mn>2</mn><mi>�</mi></mrow></msqrt></mfrac><msup><mi>�</mi><mrow><mo>−</mo><msup><mi>�</mi><mn>2</mn></msup><mi mathvariant="normal">/</mi><mn>2</mn></mrow></msup><mtext> </mtext><mi>�</mi><mi>�</mi><mo>=</mo><mtext>常数</mtext></mrow></semantics></math>∫2π​1​e−x2/2dx=常数 （高斯函数的积分）
   • <span class="katex" style="border: 0px solid rgb(227, 227, 227); box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; font-variant-numeric: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-alternates: normal; font-kerning: auto; font-optical-sizing: auto; font-feature-settings: normal; font-variation-settings: normal; font-variant-position: normal; font-stretch: normal; font-size: 1.21em; line-height: 1.2; font-family: KaTeX_Main, "Times New Roman", serif; text-rendering: auto;"><span class="katex-mathml" style="border: 0px; box-sizing: border-box; --tw-border-spacing-x: 0; --tw-border-spacing-y: 0; --tw-translate-x: 0; --tw-translate-y: 0; --tw-rotate: 0; --tw-skew-x: 0; --tw-skew-y: 0; --tw-scale-x: 1; --tw-scale-y: 1; --tw-pan-x: ; --tw-pan-y: ; --tw-pinch-zoom: ; --tw-scroll-snap-strictness: proximity; --tw-gradient-from-position: ; --tw-gradient-via-position: ; --tw-gradient-to-position: ; --tw-ordinal: ; --tw-slashed-zero: ; --tw-numeric-figure: ; --tw-numeric-spacing: ; --tw-numeric-fraction: ; --tw-ring-inset: ; --tw-ring-offset-width: 0px; --tw-ring-offset-color: #fff; --tw-ring-color: rgba(69,89,164,.5); --tw-ring-offset-shadow: 0 0 transparent; --tw-ring-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow: 0 0 transparent; --tw-shadow-colored: 0 0 transparent; --tw-blur: ; --tw-brightness: ; --tw-contrast: ; --tw-grayscale: ; --tw-hue-rotate: ; --tw-invert: ; --tw-saturate: ; --tw-sepia: ; --tw-drop-shadow: ; --tw-backdrop-blur: ; --tw-backdrop-brightness: ; --tw-backdrop-contrast: ; --tw-backdrop-grayscale: ; --tw-backdrop-hue-rotate: ; --tw-backdrop-invert: ; --tw-backdrop-opacity: ; --tw-backdrop-saturate: ; --tw-backdrop-sepia: ; forced-color-adjust: none !important; clip: rect(1px, 1px, 1px, 1px); height: 1px; overflow: hidden; padding: 0px; position: absolute; width: 1px;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>∫</mo><msup><mi>�</mi><mrow><mo>−</mo><msup><mi>�</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msup><mtext> </mtext><mi>�</mi><mi>�</mi><mo>=</mo><mfrac><msqrt><mi>�</mi></msqrt><mn>2</mn></mfrac><mtext>erf</mtext><mo stretchy="false">(</mo><mi>�</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>�</mi></mrow></semantics></math>∫e−x2dx=2π​​erf(x)+C （误差函数的积分）