代数最值与函数随记

标签：frac 函数 2a 4ac 随记 代数 最值 4a

代数式 \(ax^2+bx+c\) 的最值是 ( ) , （ ）时有最大值，( ) 有最小值。

• 代数解

\[ax^2+bx+c \]

\[=a(x^2+\frac{b}{a}x) + c \]

\[=a[(x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2]+c-\frac{b^2}{4a^2}·a \]

\[=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a} \]

\(\therefore\) 易得，当 \(x=-\frac{b}{2a}\) 时有最值。\(a<0\) 时有最大值，\(a>0\) 时有最小值。最值是 \(\frac{4ac-b^2}{4a}\) 。

• 函数解

当 \(a<0\) 时：

易得，顶点（即函数最大值）为：\(\frac{4ac-b^2}{4a}\) 。

当 \(a>0\) 时：

易得，顶点（即函数最小值）为：\(\frac{4ac-b^2}{4a}\) 。

\(\therefore\) 综上，当 \(x=-\frac{b}{2a}\) 时有最值。\(a<0\) 时有最大值，\(a>0\) 时有最小值。最值是 \(\frac{4ac-b^2}{4a}\) 。

对比于函数解与代数解，函数解能够更加直观地找出题目所求线索，而代数解更倾向于无脑解题。

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From： https://www.cnblogs.com/SCAtlas-lxy23/p/18002247