二项式定理
- 观察下列各式及其展开式
- 杨辉三角
即:
\[C^0_0 \]\[C^0_1 \quad C^1_1 \]\[C^0_2 \quad C^1_2 \quad C^2_2 \]\[C^0_3 \quad C^1_3 \quad C^2_3 \quad C^3_3 \]\[\cdots \quad \cdots \]很容易发现，杨辉三角中的第 \(n\) 行的每一个数字分别与 \((x+y)^n\) 的展开式的每一个单项式的系数对应。
那么，我们很容易猜想
\[(x+y)^5=C^0_5·x^5 + C^1_5·x^4y + C^2_5·x^3y^2 + C^3_5·x^2y^3 + C^4_5·xy^4 + C^5_5·y^5 \]而事实亦然如此。
综上，我们可以得出 二项式定理的公式
\[(x+y)^n = \sum_{i=0}^{n}{C^i_n·x^{n-i}y^i} \]例题
\[\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \]\[\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}} \]求 \((2x + \frac{1}{\sqrt{x}})^7\) 的展开式中 \(x\) 的系数。
设 \(2x\) 的指数为 \(m\) , \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) 的指数为 n
\[\begin{cases} m+n=7\\ m - \frac{1}{2} n=1 \end{cases} \]解得
\[\begin{cases} m=3\\ n=4 \end{cases} \]易得，展开式中第 \(5\) 项单项式即为所求单项式。
\[C^4_7·(2x)^3·(\frac{1}{\sqrt{x}})^4 = 35·8x^3·\frac{1}{x^2} = 280 x \]\(\therefore\) 展开式中 \(x\) 的系数为 \(280\)
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