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三角形中的三角公式

时间:2024-01-05 17:48:05浏览次数:30  
标签:cos cdot 公式 三角 sin cfrac 三角形 pi tan

前言

在三角函数章节中,我们学习了许多公式,比如同角三角函数关系,诱导公式,和角公式,差角公式,二倍角公式,半角公式等;当这些角放置到三角形中,由于有了内角和的限定等,所以它们又有了不同的外在形式;

编辑中。。。

三角形内角和

  • \(A+B+C=\pi\),\(A+B=\pi-C\),\(\cfrac{A+B}{2}=\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{C}{2}\),\(A,B,C\in(0,\pi)\),

  • 三角形中的互补关系

\(\sin(A+B)=\sin(\pi-C)=\sin C\),

\(\cos(A+B)=\cos(\pi-C)=-\cos C\),

\(\tan(A+B)=\tan(\pi-C)=-\tan C\),

  • 三角形中的互余关系

\(\sin\cfrac{A+B}{2}=\sin(\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{C}{2})=\cos\cfrac{C}{2}\),

\(\cos\cfrac{A+B}{2}=\cos(\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{C}{2})=\sin\cfrac{C}{2}\),

\(\tan\cfrac{A+B}{2}=\tan(\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{C}{2})=\cot\cfrac{C}{2}\),

  • 三角形中的射影定理

\(a=b\cdot cosC+c\cdot cosB\),\(b=a\cdot cosC+c\cdot cosA\),\(c=b\cdot cosA+a\cdot cosB\),

相关不等式

在锐角\(\Delta ABC\)中,\(sinA>cosB\),\(cosA<sinB\)。

证明:由于在锐角\(\Delta ABC\)中,故\(A+B>\cfrac{\pi}{2}\),即\(A>\cfrac{\pi}{2}-B\),此时\(A\in(0,\cfrac{\pi}{2})\),\(\cfrac{\pi}{2}-B\in(0,\cfrac{\pi}{2})\),

而函数\(y=sinx\)在\((0,\cfrac{\pi}{2})\)上是单调递增的,故\(sinA>sin(\cfrac{\pi}{2}-B)=cosB\),即\(sinA>cosB\),

同理,函数\(y=cosx\)在\((0,\cfrac{\pi}{2})\)上是单调递减的,故\(cosA<cos(\cfrac{\pi}{2}-B)=sinB\),即\(cosA<sinB\)。

  • 在\(\Delta ABC\)中,$A>B\Leftrightarrow sinA>sinB\Leftrightarrow a>b $(利用正弦定理和大角对大边可证明)

在\(\Delta ABC\)中,\(A>B\Leftrightarrow cosA<cosB\)(利用余弦函数的单调性可证明)

  • “\(a^2+b^2>c^2\)”是“\(\triangle ABC\)是锐角\(\triangle\)”的必要不充分条件;

“\(a^2+b^2<c^2\)”是“\(\triangle ABC\)是钝角\(\triangle\)”的充分不必要条件;

“\(a^2+b^2=c^2\)”是“\(\triangle ABC\)是\(Rt\triangle\)”的充分不必要条件;

相关恒等式

在\(\triangle ABC\)中,\(\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\cfrac{A}{2}\cos\cfrac{B}{2}\cos\cfrac{C}{2}\)

在\(\triangle ABC\)中,\(\cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin\cfrac{A}{2}\sin\cfrac{B}{2}\sin\cfrac{C}{2}\)

在斜 \(\triangle ABC\)中,\(\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C\quad\)(\(A,B,C\neq \cfrac{\pi}{2}\))

证明: 由于 \(tan(\alpha+\beta)=\cfrac{tan\alpha+tan\beta}{1-tan\alpha\cdot tan\beta}\),

我们对其做变形,得到

\(tan(\alpha+\beta)\cdot (1-tan\alpha\cdot tan\beta)=tan\alpha+tan\beta\)

如果将其放置到斜三角形指锐角三角形和钝角三角形。和直角三角形并列。中,即能保证 \(A,B,C\neq \cfrac{\pi}{2}\),

则有\(tan(A+B)\cdot (1-tanA\cdot tanB)=tanA+tanB\),

在三角形中,由\(A+B+C=\pi\)可知\(A+B=\pi-C\),

则有\(tan(A+B)=-tanC\),代入上式即得到,

\[-tanC\cdot (1-tanA\cdot tanB)=tanA+tanB \]

整理后得到,$$tanA+tanB+tanC=tanA\cdot tanB \cdot tanC$$

标签:cos,cdot,公式,三角,sin,cfrac,三角形,pi,tan
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