在 B 站上看到一个讲得挺全面的视频教程 为什么引入李群流形 我觉得讲得挺好，做一下知识点总结。
群属于一种代数结构，即拥有 set 和 operation。而流形属于几何拓扑的概念，可以定义导数。李群可以说是这两者的融合产物，它连接了代数和几何。
流形可以简单看成是函数的推广，它的自变量属于线性空间 Vector space，因变量属于流形空间 manifold。一般流形定义了 Local 和 Retract 两个运算。前者是给出 \(y_1\) 和 \(y_2\) 然后求出 \(\Delta x\)，后者则是给出 \(y_1\) 和 \(\Delta x\) 求出 \(y_2\)。因此我们可以得到流形的导数公式：\(\frac{Local(y_1, Retract(y_1, \Delta x))}{\Delta x}\)
而群则需要拥有封闭性、幺元、逆元和结合性的特点。在程序中就是四个函数：compose、identity、inverse 和 between。between 指代两个 y 之间的距离。
李群除了拥有以上的六个属性之外还拥有 Expmap 和 Logmap。先定义向量空间中的元素可以通过 hat \((·)^\hat{ }\) 变成李代数空间，而李代数空间里的元素可以通过 vee \((·)^\vee{ }\) 变回向量空间，李代数里的元素可以通过 exp 和 log 运算得到李群元素，而 Expmap 和 Logmap 即是一种向量空间和李群空间之间变化的简写。
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