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概
Rawlsian Max-Min Fairness: 假设 \(H\) 是一个函数集合, 则其中最大化最小收益的元素 \(h^*\) 称为满足 Rawlsian Max-Min fairness principle 的, 即:
\[\tag{1} h^* = \mathop{\text{argmax}} \limits_{h \in H} \min_{s \in S} U_{D_s}(h). \]本文所关注的是, 在不知道 \(S, \mathcal{D}_s\) 的前提下, 上述问题的一个可行性方案. 主要是利用了对抗训练的思想.
符号说明
- \(\mathcal{D}\), 数据分布;
- \(s \in S\), group;
- \(U_{D_s}(h)\), group \(s\) 在映射 \(h\) 下的收益;
本文方法
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我们用损失 \(\mathcal{L}_{\mathcal{D}_s}(h) := \mathbb{E}_{(x_i, v_i) \sim \mathcal{D}_s} [\ell(h(x_i), y_i]\) 来定义效益:
\[U_{\mathcal{D}_s}(h) = -\mathcal{L}_{\mathcal{D}_s}(h), \]此时
\[\tag{3} h^* = \mathop{\text{argmin}} \limits_{h \in H} \max_{s \in S} \mathcal{L}_{D_s}(h). \] -
进一步地, 将 (3) 转换为如下形式:
\[\tag{4} \min_{\theta}\max_{\lambda} \sum_{s \in S} \lambda_s \mathcal{L}_{\mathcal{D}_s} (h) = \sum_{i=1}^n \lambda_{s_i} \ell(h(x_i), y_i); \]这是一个 \(\theta, \lambda\) 的博弈的过程, 当然我们需要对 \(\lambda\) 的形态加以限制, 否则它只会关注损失最大的那个 \(s_i\);
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因为我们是不知道 \(S\) 的, 所以作者只是简单地进行了一个二分, 作者希望通过 \(f_{\phi}: X \times Y \rightarrow [0, 1]\) 来指明那些损失很大的区域, 并且
\[\lambda_{\phi}(x_i, y_i) = 1 + n \cdot \frac{f_{\phi}(x_i, y_i)}{\sum_{j=1}^n f_{\phi}(x_i, y_i)}. \] -
需要注意的是, 这个重加权不是简单地为那些损失大的困难样本赋予更多的权重, \(f_{\phi}\) 的输入是 \((x, y)\), 作者认为 group 和每个样本的特征 \((x, y)\) 是紧密相连的, 通过
\[\max_{\phi} \: \sum_{i=1}^n \lambda_{\phi}(x_i, y_i) \ell(h(x_i), y_i), \]最终 \(f_{\phi}\) 会将 \((x_i, y_i)\) 成功进行分组.
注: \(f_{\phi}\) 作者仅仅用一层的 MLP 拟合.
代码
[official]
标签：phi,Demographics,Adversarially,through,Learning,Fairness,mathcal,sum,lambda From： https://www.cnblogs.com/MTandHJ/p/16768602.html