邱老师的数学。
幻方入门
先把这个幻方画出来
\[x_1\qquad x_2 \qquad x_3 \]\[x_4\qquad x_5 \qquad x_6 \]\[x_7\qquad x_8 \qquad x_9 \]方便起见，下面记 \(f(m) = 10-m\) ，记 \(dis(n,m)\) 为 \(x_n,x_m\) 在幻方中的距离，比如 \(dis(1,2)=1,dis(1,9)=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.\)
根据幻方的定义可知，$\forall i \in x , \forall j \in x $ 满足 \(x_i\not = x_j ,x_i,x_j \in [1,9] \cap Z(i\not= j)\)
那么 \(\sum x = \sum_{i=1} ^9=45.\)
这两个东西都是很显然的。
\[\because\begin{cases} x_1 + x_4 + x_7 = x_2+x_5+ x_8=x_3+x_6+x_9 \\ \sum x=45 \end{cases} \]\[\therefore x_1 + x_4 + x_7 = x_2+x_5+ x_8=x_3+x_6+x_9=\frac{45}{3}=15,x_i+ x_{f(i)} +x_5 =15(i\in [1,9]\cap Z) \]这个幻方的每一行，每一列，每一条对角线上面的数的和均为 \(15.\) 结论 \([1]\)
又有 $$(x_1+x_5+x_9)+(x_4+x_5+x_6)+(x_2+x_5+ x_8) +(x_3+x_5+x_7) = 60$$
整理，得 $$\sum x+3 x_5 =60$$
移项并合并得 \(3x_5 =15\)，系数化为 \(1\) 得 \(x_5=5.\) 那么这个幻方就顺理成章的变成了
\[x_1\qquad x_2 \qquad x_3 \]\[x_4\ \qquad 5 \ \qquad x_6 \]\[x_7\qquad x_8 \qquad x_9 \]则上面证明出来的 \(x_i+x_{f(i)}+x_5=15\) 移项并合并 \(x_i +x_{f(i)}=10\) ，结论 \([2].\)
再推导两个结论：
当 \(dis(n,m)=2\) 且 \(x_n+x_m=10\)，这个幻方是不合法的。因为当 \(dis(n,m)=2\) 且 \(x_n+x_m=10\) 时 \(x+{x_n+\frac{n+m}{2}}+x_m=10\)，而 \(x_n+x_m=10\)，解得 \(x_{\frac{n+m}{2}}=5\)，而有 \(x_5=5\)，不符合幻方的基本性质 \((\forall x_i \not = \forall x_j (i\not=j)).\)
将这个结论记作 \([3]\)
由上面的 \([1]\) 可知 \(x_4 + x_6=10\)，又有 \([2]\) 可知 \((x_1+x_4+x_7)+(x_3+x_6+x_9)=15+15=30\) ，两式相减得 \(x_1 +x_3 +x_7+x_9=20.\)
那么我们来一遍奇偶性分析：当 \(x_1+x_4+x_7=15\) 时，要么三个数均为奇数，要么两个偶数一个奇数，以此类推，\(x_1+x_2+x_3=15\)，\(x_3+x_6+x_9=15\)，\(x_7+x_8+x_9=15\) 都是同理的。那么就需要小于等于 \(4\) 个偶数。
\(''=''\) 取得当且仅当这 \(4\) 个组全部以 "两偶一奇" 构造而成。
\(x_1,x_2,x_3;x_3,x_6,x_9;x_7,x_8,x_9;x_1,x_4,x_7\) 一共有 \(12\) 个数，其中有 \(8\) 个偶数和 \(4\) 个奇数组成，\(x_1,x_2,x_3,x_4,x_6,x_7,x_8,x_9\) 有 \(4\) 奇 \(4\) 偶，则 \(x_1,x_3,x_7,x_9\) 均为偶数。
\(\therefore x_1,x_3,x_7,x_9\) 取值于 \(2,4,6,8.\) 又因为结论 \([2]\) 可知，\(x_1+x_9=x_3+x_7=10\)，不妨设 \(x_1=8.\) 则 \(8+x_9=10\)，解得 \(x_9=2\)，又根据结论 \([3]\) 可得 \(x_3=4,x_7=6.\) 剩下的几个位置可以唯一确定了。以此类推，当 \(x_1=2,4,6\) 时同理可得到一个解法，这样一共存在 \(4\) 种解法。
由于一个幻方可以通过左右对称，上下对称变换出 \(2\times 2=4\) 种本质相同的方案，所以 \(3\) 阶幻方存在 \(\frac{4}{4}=1\) 种本质不同的方案。
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